Soustavy se stejnou maticí
Úloha číslo: 2373
Řešte soustavy rovnic \(\mathbf A\mathbf x=\mathbf 0\), \(\mathbf A\mathbf x=\mathbf b^1\), \(\mathbf A\mathbf x=\mathbf b^2\) a \(\mathbf A\mathbf x=\mathbf b^3\) pro:
\[ \mathbf A= \begin{pmatrix} 6 & 3 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 2 & 1 & 2 & 3 \\ 4 & 2 & 3 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 7 & 3 & 2 \\ \end{pmatrix},\ \mathbf b^1= \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 0 \\ 1 \\ \end{pmatrix},\ \mathbf b^2= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{pmatrix},\ \mathbf b^3= \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 2 \\ 3 \\ \end{pmatrix} \]
Jak spolu souvisí geometrické interpretace těchto soustav?
Řešení
Všechny čtyři soustavy vyřešíme najednou převedením matice \((\mathbf A|\mathbf 0\ \mathbf b^1\ \mathbf b^2\ \mathbf b^3)\) na odstupňovaný tvar:
\( \begin{pmatrix} \begin{array}{ccccc|cccc} 6 & 3 & 2 & 3 & 4 & 0 & 5 & 1 & 3 \\ 4 & 2 & 1 & 2 & 3 & 0 & 4 & 1 & 2 \\ 4 & 2 & 3 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 7 & 3 & 2 & 0 & 1 & 1 & 3 \\ \end{array} \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} \begin{array}{ccccc|cccc} 2 & 1 & 7 & 3 & 2 & 0 & 1 & 1 & 3 \\ 4 & 2 & 1 & 2 & 3 & 0 & 4 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 0 &-2 & 0 &-4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 &-1 & 0 &-2 &-1 & 0 \\ \end{array} \end{pmatrix}\sim \)
\( \begin{pmatrix} \begin{array}{ccccc|cccc} 2 & 1 & 7 & 3 & 2 & 0 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 0 &-13&-4 &-1 & 0 & 2 &-1 &-4 \\ 0 & 0 & 1 & 0 &-1 & 0 &-2 &-1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ \end{array} \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} \begin{array}{ccccc|cccc} 2 & 1 & 7 & 3 & 2 & 0 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 &-1 & 0 &-2 &-1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 &-4 &-14& 0 &-24&-14&-4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ \end{array} \end{pmatrix}\sim \)
\( \begin{pmatrix} \begin{array}{ccccc|cccc} 2 & 1 & 7 & 3 & 2 & 0 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 &-1 & 0 &-2 &-1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 7 & 0 &12 & 7 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ \end{array} \end{pmatrix} \)
Homogenní soustava \(\mathbf A\mathbf x=\mathbf 0\) má tedy řešení \(\mathbf x^0=p_1(3{,}0,4,-14{,}4)^T+p_2(-1{,}2,0{,}0,0)^T\),
soustava \(\mathbf A\mathbf x=\mathbf b^1\) má řešení \(\mathbf x=(0,-3,-2{,}6,0)^T+\mathbf x^0\),
soustava \(\mathbf A\mathbf x=\mathbf b^2\) nemá žádné řešení a
soustava \(\mathbf A\mathbf x=\mathbf b^3\) má řešení \(\mathbf x=(0{,}0,0{,}1,0)^T+\mathbf x^0\).Geometricky jsou odpovídající nadroviny v různých soustavách paralelní, volba \(\mathbf b\) určuje jejich posunutí.
Levé strany prvních tří rovnic jsou lineárně závislé, proto průniky nadrovin odpovídajících libovolným dvěma z nich musí být totožné, jinak soustava nemá řešení jako v případě \(\mathbf b^2\).
