Soustavy se stejnou maticí
Úloha číslo: 2373
Řešte soustavy rovnic \(\boldsymbol A\boldsymbol x=\mathbf 0\), \(\boldsymbol A\boldsymbol x=\boldsymbol b\), \(\boldsymbol A\boldsymbol x=\boldsymbol c\) a \(\boldsymbol A\boldsymbol x=\boldsymbol d\) pro:
\[ \boldsymbol A= \begin{pmatrix} 6 & 3 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 2 & 1 & 2 & 3 \\ 4 & 2 & 3 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 7 & 3 & 2 \\ \end{pmatrix},\ \boldsymbol b= \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 0 \\ 1 \\ \end{pmatrix},\ \boldsymbol c= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{pmatrix},\ \boldsymbol d= \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 2 \\ 3 \\ \end{pmatrix} \]
Jak spolu souvisí geometrické interpretace těchto soustav?
Řešení
Všechny čtyři soustavy vyřešíme najednou převedením matice \((\boldsymbol A|\mathbf 0\ \boldsymbol b\ \boldsymbol c\ \boldsymbol d)\) na odstupňovaný tvar:
\( \begin{pmatrix} \begin{array}{ccccc|cccc} 6 & 3 & 2 & 3 & 4 & 0 & 5 & 1 & 3 \\ 4 & 2 & 1 & 2 & 3 & 0 & 4 & 1 & 2 \\ 4 & 2 & 3 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 7 & 3 & 2 & 0 & 1 & 1 & 3 \\ \end{array} \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} \begin{array}{ccccc|cccc} 2 & 1 & 7 & 3 & 2 & 0 & 1 & 1 & 3 \\ 4 & 2 & 1 & 2 & 3 & 0 & 4 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 0 &-2 & 0 &-4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 &-1 & 0 &-2 &-1 & 0 \\ \end{array} \end{pmatrix}\sim \)
\( \begin{pmatrix} \begin{array}{ccccc|cccc} 2 & 1 & 7 & 3 & 2 & 0 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 0 &-13&-4 &-1 & 0 & 2 &-1 &-4 \\ 0 & 0 & 1 & 0 &-1 & 0 &-2 &-1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ \end{array} \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} \begin{array}{ccccc|cccc} 2 & 1 & 7 & 3 & 2 & 0 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 &-1 & 0 &-2 &-1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 &-4 &-14& 0 &-24&-14&-4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ \end{array} \end{pmatrix}\sim \)
\( \begin{pmatrix} \begin{array}{ccccc|cccc} 2 & 1 & 7 & 3 & 2 & 0 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 &-1 & 0 &-2 &-1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 7 & 0 &12 & 7 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ \end{array} \end{pmatrix} \)
Ve skutečnosti nulový sloupec není třeba přidávat, protože se při úpravách nemění.
Homogenní soustava \(\boldsymbol A\boldsymbol x=\mathbf 0\) má tedy řešení \(\boldsymbol x^0=p_1(3{,}0,4,-14{,}4)^T+p_2(-1{,}2,0{,}0,0)^T\),
soustava \(\boldsymbol A\boldsymbol x=\boldsymbol b\) má řešení \(\boldsymbol x=(0,-3,-2{,}6,0)^T+\boldsymbol x^0\),
soustava \(\boldsymbol A\boldsymbol x=\boldsymbol c\) nemá žádné řešení a
soustava \(\boldsymbol A\boldsymbol x=\boldsymbol d\) má řešení \(\boldsymbol x=(0{,}0,0{,}1,0)^T+\boldsymbol x^0\).Geometricky jsou odpovídající nadroviny v různých soustavách paralelní, volba pravé strany určuje jejich posunutí.
Levé strany prvních tří rovnic jsou lineárně závislé, proto průniky nadrovin odpovídajících libovolným dvěma z nich musí být totožné, jinak soustava nemá řešení jako v případě vektoru \(\boldsymbol c\).
