Počet polynomů
Úloha číslo: 2622
Určete, kolik je různých polynomů \(p\) stupně právě tři nad tělesem \(\mathbb Z_5\) takových, že \(p(3)=2\). Popište všechny takové polynomy.
Řešení
Má-li být \(p(x)=a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0\), potom pro \(a_3\) máme čtyři volby: \(1,…,4\); pro \(a_2\) a \(a_1\) pět voleb: \(0,…,4\); a \(a_0\) dopočítáme z dosazení 3 za \(x\). Dohromady tyto volby dávají sto možností.
Množinu hledaných polynomů lze popsat např. jako
\(\{a_3x^3+a_2x^2+a_1x+(3a_3+a_2+2a_1+2): a_3\in\{1,…,4\}, a_2, a_1\in\{0,…,4\}\}\).
