Sbírka matematických úloh

Jordanův tvar - diagonalizovatelné matice

Úloha číslo: 2648

• Varianta 1

  \( \begin{pmatrix} -11 & 30 \\ -10 & 24 \\ \end{pmatrix} \)

• Nápověda

  Pokud je každé vlastní číslo jednonásobné, lze Jordanův rozklad \(\mathbf R\mathbf D\mathbf R^{-1}\) sestrojit tak, že \(\mathbf D\) je diagonální matice s vlastními čísly na diagonále a \(\mathbf R\) obsahuje jako sloupce vlastní vektory.

• Řešení

  \(\begin{vmatrix} -11-t & 30 \\ -10 & 24-t \\ \end{vmatrix} =t^2-13t+36=(t-9)(t-4)\) čili \(\lambda_1=9\), \(\lambda_2=4\).

  Pro \(\lambda_1=9\) máme \(-20x_1+30x_2=0\) s řešením \(\mathbf x=(x_1, x_2)^T=(3, 2)^T\).

  Pro \(\lambda_2=4\) máme \(-15x_1+30x_2=0\) s řešením \(\mathbf x=(2, 1)^T\).

• Výsledek

  \(\mathbf R=\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 1 \\ \end{pmatrix} \), \(\mathbf D=\begin{pmatrix} 9 & 0 \\ 0 & 4 \\ \end{pmatrix} \), \(\mathbf R^{-1}=\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 2 & -3 \\ \end{pmatrix} \)

• Varianta 2

  \( \begin{pmatrix} 0 & 2 & -2 \\ 1 & -1 & 5 \\ 2 & -4 & 8 \\ \end{pmatrix} \)

• Výsledek

  \(\mathbf R=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix}\), \(\mathbf D=\begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}\), \(\mathbf R^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ -1 & 2 & -2 \\ 1 & -1 & 1 \\ \end{pmatrix}\)

• Varianta 3

  \( \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ -4 & 1 & 3 \\ -4 & 0 & 4 \\ \end{pmatrix} \)

• Výsledek

  \(\mathbf R=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ \end{pmatrix}\), \(\mathbf D=\begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}\), \(\mathbf R^{-1}=\begin{pmatrix} -2 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ \end{pmatrix}\)

• Varianta 4

  \( \begin{pmatrix} 4 & -2 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 6 & -5 & 1 \\ \end{pmatrix} \)

• Výsledek

  \(\mathbf R=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix}\), \(\mathbf D=\begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}\), \(\mathbf R^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -2 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix}\)