Axiomy grupy
Úloha číslo: 2438
Ukažte, že i redukované axiomy
- [(A)] \(\forall a,b,c\in G: (ab)c=a(bc)\)
- [(E')] \(\exists e\in G\ \forall a\in G: ae=a\)
- [(I')] \(\forall a\in G\ \exists b\in G: ab=e\)
Nápověda
Nejprve určete, z které strany lze krátit.
Nápověda
Odvoďte a pak využijte pomocný vztah: \(aab=aba\).Řešení
Lze krátit jen zprava: \(ca=da\ \Longrightarrow\ c=ce=cab=dab=de=d\).
(Krácení zleva stejným způsobem odvodit nelze, protože ještě nevíme, že platí \(c=ec\).)
Nyní odvodíme pomocný vztah: \(e=ab=(ae)b=aabb\), ale také \(e=ee=abab\), odtud po zkrácení zprava: \(aab=aba\).
Odtud již: \(ea=aba=aab=ae=a\).
Teprve nyní lze odvodit krácení zleva: \(bc=bd \ \Longrightarrow\ c=ec=abc=abd=ed=d\).
Poslední vztah \(e=ab=ba\) získáme zkrácením \(a\) zleva z již odvozeného vztahu \(aab=aba\).