Axiomy grupy

Úloha číslo: 2438

Ukažte, že i redukované axiomy
  • [(A)] \(\forall a,b,c\in G: (ab)c=a(bc)\)
  • [(E')] \(\exists e\in G\ \forall a\in G: ae=a\)
  • [(I')] \(\forall a\in G\ \exists b\in G: ab=e\)
definují grupu, tedy, že se z nich dají odvodit i "chybějící" pravidla \(ea=a\) a \(ba=e\).

  • Nápověda

    Nejprve určete, z které strany lze krátit.

  • Nápověda

    Odvoďte a pak využijte pomocný vztah: \(aab=aba\).

  • Řešení

    Lze krátit jen zprava: \(ca=da\ \Longrightarrow\ c=ce=cab=dab=de=d\).

    (Krácení zleva stejným způsobem odvodit nelze, protože ještě nevíme, že platí \(c=ec\).)

    Nyní odvodíme pomocný vztah: \(e=ab=(ae)b=aabb\), ale také \(e=ee=abab\), odtud po zkrácení zprava: \(aab=aba\).

    Odtud již: \(ea=aba=aab=ae=a\).

    Teprve nyní lze odvodit krácení zleva: \(bc=bd \ \Longrightarrow\ c=ec=abc=abd=ed=d\).

    Poslední vztah \(e=ab=ba\) získáme zkrácením \(a\) zleva z již odvozeného vztahu \(aab=aba\).

Obtížnost: Obtížná úloha
Úloha na dokazování, ověřování
Úloha vyžadující neobvyklý trik nebo nápad
En translation
Zaslat komentář k úloze