Inverze matice nad Z11
Úloha číslo: 2475
Nalezněte inverzní matici nad tělesem \(\mathbb Z_{11}\).
\( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ 2 & 3 & 4 & 5 & 1\\ 3 & 4 & 5 & 1 & 2\\ 4 & 5 & 1 & 2 & 3\\ 5 & 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix} \)
Nápověda
Zkuste začít sečtením všech řádků.
Řešení
Sečtením všech řádků získame na pravé straně řádek \((4{,}4,4{,}4,4)\). Vynásobením \(4^{-1}=3\) jej pak převedeme na řádek samých jedniček.
\( \left( \begin{array}{ccccc|ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 2 & 3 & 4 & 5 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 3 & 4 & 5 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 4 & 5 & 1 & 2 & 3 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 5 & 1 & 2 & 3 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \sim \left( \begin{array}{ccccc|ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 2 & 3 & 4 & 5 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 3 & 4 & 5 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 4 & 5 & 1 & 2 & 3 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 3 & 3 & 3 & 3 & 3 \end{array} \right) \)
Posledním řádkem eliminujeme celý první sloupec, tj. od \(i\)-tého řádku odečteme \(i\) násobek posledního.
\( \left( \begin{array}{ccccc|ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 2 & 3 & 4 & 5 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 3 & 4 & 5 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 4 & 5 & 1 & 2 & 3 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 3 & 3 & 3 & 3 & 3 \end{array} \right) \sim \left( \begin{array}{ccccc|ccccc} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 9 & 8 & 8 & 8 & 8\\ 0 & 1 & 2 & 3 &10 & 5 & 6 & 5 & 5 & 5\\ 0 & 1 & 2 & 9 &10 & 2 & 2 & 3 & 2 & 2\\ 0 & 1 & 8 & 9 &10 &10 &10 &10 & 0 &10\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 3 & 3 & 3 & 3 & 3 \end{array} \right) \)
Od druhého řádku odečteme první, od třetího odečteme druhý a od čtvrtého odečteme třetí.
\( \left( \begin{array}{ccccc|ccccc} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 9 & 8 & 8 & 8 & 8\\ 0 & 1 & 2 & 3 &10 & 5 & 6 & 5 & 5 & 5\\ 0 & 1 & 2 & 9 &10 & 2 & 2 & 3 & 2 & 2\\ 0 & 1 & 8 & 9 &10 &10 &10 &10 & 0 &10\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 3 & 3 & 3 & 3 & 3 \end{array} \right) \sim \left( \begin{array}{ccccc|ccccc} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 9 & 8 & 8 & 8 & 8\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 5 & 7 & 9 & 8 & 8 & 8\\ 0 & 0 & 0 & 5 & 0 & 8 & 7 & 9 & 8 & 8\\ 0 & 0 & 5 & 0 & 0 & 8 & 8 & 7 & 9 & 8\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 3 & 3 & 3 & 3 & 3 \end{array} \right) \)
Zbytek eliminace je přímočarý.
Výsledek
Hledaná inverzní matice je \( \begin{pmatrix} 7 & 5 & 5 & 5 & 3\\ 5 & 5 & 5 & 3 & 7\\ 5 & 5 & 3 & 7 & 5\\ 5 & 3 & 7 & 5 & 5\\ 3 & 7 & 5 & 5 & 5 \end{pmatrix} \).
