Součiny sloupců
Úloha číslo: 4469
Mějme matice \(\boldsymbol A\) typu \(m \times n\) a \(\boldsymbol B\) typu \(n \times p\). Označme \(\boldsymbol a_1,\boldsymbol a_2,\dots, \boldsymbol a_n\) sloupce matice \(\boldsymbol A\) a \(\boldsymbol b_1^\mathsf T,\boldsymbol b_2^\mathsf T,\dots, \boldsymbol b_n^\mathsf T\) řádky matice \(\boldsymbol B\). (Neboli \(\boldsymbol b_1,\boldsymbol b_2,\dots, \boldsymbol b_n\) jsou sloupce \(\boldsymbol B^\mathsf T\).)
Které matici odpovídá výraz \(\boldsymbol a_1\boldsymbol b_1^\mathsf T+\boldsymbol a_2\boldsymbol b_2^\mathsf T+\cdots+\boldsymbol a_n\boldsymbol b_n^\mathsf T\)?
Zde každý sčítanec \(\boldsymbol a_i\boldsymbol b_i^\mathsf T\) je matice typu \(m \times p\), protože sloupcové vektory bereme jako matici o jednom sloupci.
Řešení
Označme si \(\boldsymbol C=\boldsymbol a_1\boldsymbol b_1^\mathsf T+\boldsymbol a_2\boldsymbol b_2^\mathsf T+\cdots+\boldsymbol a_n\boldsymbol b_n^\mathsf T\).
Matice \(\boldsymbol a_k\boldsymbol b_k^\mathsf T\) má na pozici v \(i\)-tém řádku a \(j\)-tém sloupci součin \(a_{ik}b_{kj}\).
Odtud \(c_{ij}=\sum\limits_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}\) a proto \(\boldsymbol C=\boldsymbol{AB}\).
Odpověď
Daný výraz odpovídá součinu \(\boldsymbol{AB}\).
