Signatura formy s parametrem

V závislosti na parametru \(a\in\mathbb R\) určete signaturu formy s maticí

Varianta
\( \begin{pmatrix} 1 &1 &1\\ 1 &0 &0\\ 1 &0 &a \end{pmatrix} \)
Řešení
Provádíme Gaussovu eliminaci tak, že každou úpravu provedeme i na odpovídající sloupec:

Odečtení prvního řádku/sloupce od ostatních a pak druhého od třetího:
\( \begin{pmatrix} 1 &1 &1\\ 1 &0 &0\\ 1 &0 &a \end{pmatrix} \sim\sim \begin{pmatrix} 1 &0 &0\\ 0 &-1 &-1\\ 0 &-1 &a-1 \end{pmatrix} \sim\sim \begin{pmatrix} 1 &0 &0\\ 0 &-1 &0\\ 0 &0 &a \end{pmatrix} \)
Signatutra bude záviset na znaménku \(a\), protože to ovlivní počet kladných, záporných či nulových prvků výsledné diagonální matice.
Odpověď
Pro \(a\gt 0\) je signatura \((2{,}1,0)\), pro \(a\lt 0\) je signatura \((1{,}2,0)\) a pro \(a=0\) je signatura \((1{,}1,1)\).
Varianta
\( \begin{pmatrix} 1 &2 &3\\ 2 &a &0\\ 3 &0 &0 \end{pmatrix} \)
Odpověď
Pro \(a\gt 0\) je signatura \((2{,}1,0)\), pro \(a\lt 0\) je signatura \((1{,}2,0)\) a pro \(a=0\) je signatura \((1{,}1,1)\).