Nestandardní skalární součin

Nechť je skalární součin nad \(\mathbb C^3\) dán předpisem:

\(\langle \mathbf x|\mathbf y \rangle= x_1\overline{y_1} + x_2\overline{y_2} + 2x_3\overline{y_3} + x_3\overline{y_2} + x_2\overline{y_3} \)

Určete u následujících vektorů \(\mathbf x\) a \(\mathbf y\):

1. skalární součin vektorů \(\mathbf x\) a \(\mathbf y\)

2. euklidovské normy vektorů \(\mathbf x\) a \(\mathbf y\)

3. vzdálenost vektorů \(\mathbf x\) a \(\mathbf y\)

4. zdali jsou vektory \(\mathbf x\) a \(\mathbf y\) navzájem kolmé.

Varianta 1
\(\mathbf x^T=(4, 2, 3)\), \(\mathbf y^T=(1, 5, -2)\).
Výsledek
\(\langle \mathbf x|\mathbf y \rangle =13\), \(\mathbf x\not\perp \mathbf y\), \(||\mathbf x||=5\sqrt{2}\), \(||\mathbf y||=\sqrt{14}\), \(||\mathbf x-\mathbf y||=\sqrt{38}\).
Varianta 2
\(\mathbf x^T=(3, 1, -2)\), \(\mathbf y^T=(1, -3, 2)\).
Výsledek
\(\langle \mathbf x|\mathbf y \rangle =0\), \(\mathbf x\perp \mathbf y\), \(||\mathbf x||=\sqrt{14}\), \(||\mathbf y||=\sqrt{6}\), \(||\mathbf x-\mathbf y||=2\sqrt{5}\).
Varianta 3
\(\mathbf x^T=(2, -1, 4)\), \(\mathbf y^T=(5, 2, -2)\).
Výsledek
\(\langle \mathbf x|\mathbf y \rangle =2\), \(\mathbf x\not\perp \mathbf y\), \(||\mathbf x||=\sqrt{29}\), \(||\mathbf y||=\sqrt{29}\), \(||\mathbf x-\mathbf y||=3\sqrt{6}\).
Varianta 4
\(\mathbf x^T=(2+i, 0, 4-5i)\), \(\mathbf y^T=(1+i, 2+i, -1)\).
Výsledek
\(\langle \mathbf x|\mathbf y \rangle =-2-5i\), \(\mathbf x\not\perp \mathbf y\), \(||\mathbf x||=\sqrt{87}\), \(||\mathbf y||=\sqrt{5}\), \(||\mathbf x-\mathbf y||=4\sqrt{6}\).