Sbírka matematických úloh

Výpočet rozvojem

Úloha číslo: 4543

• Nápověda

  Označíme-li \(\boldsymbol A^{i,j}\) matici, která vznikne z matice \(\boldsymbol A\) vynecháním \(i\)-tého řádku a \(j\)-tého sloupce, pak Laplaceův rozvoj determinantu matice řádu \(n\) podle \(i\)-tého řádku je:

  \[\det\boldsymbol A=\sum_{j=1}^n a_{i,j} (-1)^{i+j} \det\boldsymbol A^{i,j}\]

  Laplaceův rozvoj je výpočetně neefektivní už když příslušný řádek obsahuje alespoň dvě nenulové hodnoty. Jeho rekurentní aplikace vede na exponenciální výpočet podobně jako přímá aplikace definice determinantu.

• Varianta

  Nad \(\mathbb Z_5\): \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 4 & 1 \\ 2 & 3 & 3 \\ \end{pmatrix} \)

• Řešení

  \(\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 4 & 1 \\ 2 & 3 & 3 \\ \end{vmatrix} = -4 \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 3 \\ \end{vmatrix} + 4 \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 3 \\ \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \\ \end{vmatrix} = 2+3+1=1\)

• Odpověď

  Hodnota determinantu je \(1\).

• Varianta

  Nad \(\mathbb R\): \(\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 5 & 6 & 0 \\ 7 & 0 & 0 & 8 \\ \end{pmatrix} \)

• Řešení

  \(\begin{vmatrix} 0 & 1 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 5 & 6 & 0 \\ 7 & 0 & 0 & 8 \\ \end{vmatrix} = -3 \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 5 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 8 \\ \end{vmatrix} +0 \begin{vmatrix} 0 & 2 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 7 & 0 & 8 \\ \end{vmatrix} -0 \begin{vmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 7 & 0 & 8 \\ \end{vmatrix} +4 \begin{vmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 5 & 6 \\ 7 & 0 & 0 \\ \end{vmatrix} = 96-112=-16\)

• Odpověď

  Hodnota determinantu je \(-16\).

• Varianta

  Nad \(\mathbb R\): \(\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 0 \\ 3 & 100 & 100 & 4 \\ 0 & 5 & 6 & 0 \\ 7 & 100 & 100 & 8 \\ \end{pmatrix} \)

• Řešení

  \(\begin{vmatrix} 0 & 1 & 2 & 0 \\ 3 & 100 & 100 & 4 \\ 0 & 5 & 6 & 0 \\ 7 & 100 & 100 & 8 \\ \end{vmatrix} = -3 \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 5 & 6 & 0 \\ 100 & 100 & 8 \\ \end{vmatrix} +100 \begin{vmatrix} 0 & 2 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 7 & 0 & 8 \\ \end{vmatrix} -100 \begin{vmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 7 & 0 & 8 \\ \end{vmatrix} +4 \begin{vmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 5 & 6 \\ 7 & 100 & 100 \\ \end{vmatrix} =96-112=-16\)

  Determinant má stejnou hodnotu jako v předchozí variantě, protože koeficienty 100 byly násobeny determinanty singulárních matic a ty mají nulovou hodnotu.

• Odpověď

  Hodnota determinantu je \(-16\).