Skalární součin funkcí
Úloha číslo: 2680
Aniž byste dopočítávali integrál, ukažte, že pro libovolná \(a,b,r\in \mathbb R\), \(a,b\ne 0, r>0\) mají funkce \(f_a(x)=\sin(ax)\) a \(g_b(x)=\cos(bx)\) nulový skalární součin, t.j. jsou na sebe v odpovídajícím vektorovém prostoru kolmé.
Tento součin je dán předpisem: \(\langle f_a|g_b \rangle=\int_{-r}^r f_a(x)g_b(x)dx\).
Řešení
Stačí si všimnout, že \(\sin(ax)\) je lichá funkce, zatímco \(\cos(bx)\) je sudá. Jejich součin \(f_a(x)g_b(x)\) je lichá funkce. Pro libovolnou lichou funkci platí, že její integrál na intervalu \((-r,r)\) je nulový.
