Matice derivace polynomů
Úloha číslo: 2556
Nechť prostor polynomů nad \(\mathbb R\) stupně nejvýše 4 má bázi \(A=(x^4+x^3,\ x^3+x^2,\ x^2+x,\ x+1,\ x^4+1)\). Určete matici \([D_x]_{AK}\) pro zobrazení \(D_x\) jež funkci \(f(x)\) přiřadí její derivaci \(f'(x)\).
(Za kanonickou bázi zde považujte \(K=(x^0,…,x^4)\).)
Řešení
Platí \([D_x]_{AK}=[D_x]_{KK}[id]_{AK}\), (t.j. nejprve změníme bázi a pak teprve zderivujeme), kde
\([id]_{AK}= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \) a \([D_x]_{KK}= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \).
Výsledek
Hledaná matice je \([D_x]_{AK}= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 0 & 0 \\ 3 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \)
