Sbírka matematických úloh

Obecná lineární nezávislost

Úloha číslo: 2513

• Varianta 1

  $\{u,u+v,u+w\}$.

• Řešení

  Hledáme koeficienty $a,b,c$ takové, aby $0=au+b(u+v)+c(u+w)=(a+b+c)u+bv+cw$. Protože $u,v,w$ jsou lineárně nezávislé, musí být $a+b+c=0$, $b=0$ a $c=0$ a tedy i $a=0$. Odtud je $\{u,u+v,u+w\}$ lineárně nezávislá.

• Varianta 2

  $\{u+v,u-v,w\}$.

• Varianta 3

  $\{u+v,u-v,u+w,u-w\}$.

• Výsledek

  $\{u+v,u-v,u+w,u-w\}$ je lineárně závislá, např. s koeficienty $(1{,}1,-1,-1)^T$.

• Varianta 4

  $\{u+v,u+w,v+w\}$.

• Výsledek

  $\{u+v,u+w,v+w\}$ je lineárně nezávislá.

• Varianta 5

  $\{u-v,u-w,v-w\}$.

• Výsledek

  $\{u-v,u-w,v-w\}$ je lineárně závislá, např. s koeficienty $(1,-1{,}1)^T$.

• Varianta 6

  $\{u-2v+w,3u+v-2w,7u+14v-13w\}$.

• Výsledek

  $\{u-2v+w,3u+v-2w,7u+14v-13w\}$ je lineárně závislá, např. s koeficienty $(5,-4{,}1)^T$.

• Varianta 7

  $\{u,2u,w\}$

• Výsledek

  $\{u,2u,w\}$ je lineárně závislá, např. s koeficienty $(2,-1{,}0)^T$.

• Varianta 8

  $\{u,v+w\}$.

• Výsledek

  $\{u,v+w\}$ je lineárně nezávislá.