Sbírka matematických úloh

Obecná lineární nezávislost

Úloha číslo: 2513

• Varianta 1

  \(\{u,u+v,u+w\}\).

• Řešení

  Hledáme koeficienty \(a,b,c\) takové, aby \(0=au+b(u+v)+c(u+w)=(a+b+c)u+bv+cw\). Protože \(u,v,w\) jsou lineárně nezávislé, musí být \(a+b+c=0\), \(b=0\) a \(c=0\) a tedy i \(a=0\). Odtud je \(\{u,u+v,u+w\}\) lineárně nezávislá.

• Varianta 2

  \(\{u+v,u-v,w\}\).

• Varianta 3

  \(\{u+v,u-v,u+w,u-w\}\).

• Výsledek

  \(\{u+v,u-v,u+w,u-w\}\) je lineárně závislá, např. s koeficienty \((1{,}1,-1,-1)^T\).

• Varianta 4

  \(\{u+v,u+w,v+w\}\).

• Výsledek

  \(\{u+v,u+w,v+w\}\) je lineárně nezávislá.

• Varianta 5

  \(\{u-v,u-w,v-w\}\).

• Výsledek

  \(\{u-v,u-w,v-w\}\) je lineárně závislá, např. s koeficienty \((1,-1{,}1)^T\).

• Varianta 6

  \(\{u-2v+w,3u+v-2w,7u+14v-13w\}\).

• Výsledek

  \(\{u-2v+w,3u+v-2w,7u+14v-13w\}\) je lineárně závislá, např. s koeficienty \((5,-4{,}1)^T\).

• Varianta 7

  \(\{u,2u,w\}\)

• Výsledek

  \(\{u,2u,w\}\) je lineárně závislá, např. s koeficienty \((2,-1{,}0)^T\).

• Varianta 8

  \(\{u,v+w\}\).

• Výsledek

  \(\{u,v+w\}\) je lineárně nezávislá.