Součiny matic 2x2 s obecnou maticí
Úloha číslo: 2398
Spočtěte součiny \(\mathbf A\mathbf B_i\) a \(\mathbf B_i\mathbf A\), pro matice
\(\mathbf A=\begin{pmatrix} a_{1{,}1} & a_{1{,}2} \\ a_{2{,}1} & a_{2{,}2} \end{pmatrix}\), \(\mathbf B_1=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\), \(\mathbf B_2=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\) a \(\mathbf B_3=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\).
Jakým úpravám matice \(\mathbf A\) odpovídají příslušné součiny?
Řešení
\( \mathbf A\mathbf B_1= \begin{pmatrix} a_{1{,}1} & 0 \\ a_{2{,}1} & 0 \end{pmatrix} \) odpovídá výběru prvního sloupce.
\( \mathbf B_1\mathbf A= \begin{pmatrix} b_{1{,}1} & b_{1{,}2} \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \) odpovídá výběru prvního řádku.
\( \mathbf A\mathbf B_2= \begin{pmatrix} 0 & a_{1{,}1} \\ 0 & a_{2{,}1} \end{pmatrix}\) vybere první sloupec a umístí jej na místo druhého.
\( \mathbf B_2\mathbf A= \begin{pmatrix} a_{2{,}1} & a_{2{,}2} \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\) vybere druhý řádek a umístí jej na místo prvního.
\( \mathbf A\mathbf B_3= \begin{pmatrix} a_{1{,}2} & a_{1{,}1} \\ a_{2{,}2} & a_{2{,}1} \end{pmatrix}\) a \(\mathbf B_3\mathbf A= \begin{pmatrix} a_{2{,}1} & a_{2{,}2} \\ a_{1{,}1} & a_{1{,}2} \end{pmatrix} \) t.j. první součin prohodí sloupce, druhý řádky.
Obecně násobení matice \(\mathbf A\) zleva \(\mathbf B\mathbf A\) odpovídá řádkovým úpravám matice \(\mathbf A\), zatímco součiny zprava \(\mathbf A\mathbf B\) odpovídají sloupcovým úpravám.
