Součiny matic 2x2 s obecnou maticí

Úloha číslo: 2398

Spočtěte součiny \(\mathbf A\mathbf B_i\) a \(\mathbf B_i\mathbf A\), pro matice

\(\mathbf A=\begin{pmatrix} a_{1{,}1} & a_{1{,}2} \\ a_{2{,}1} & a_{2{,}2} \end{pmatrix}\), \(\mathbf B_1=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\), \(\mathbf B_2=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\) a \(\mathbf B_3=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\).

Jakým úpravám matice \(\mathbf A\) odpovídají příslušné součiny?

  • Řešení

    \( \mathbf A\mathbf B_1= \begin{pmatrix} a_{1{,}1} & 0 \\ a_{2{,}1} & 0 \end{pmatrix} \) odpovídá výběru prvního sloupce.

    \( \mathbf B_1\mathbf A= \begin{pmatrix} b_{1{,}1} & b_{1{,}2} \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \) odpovídá výběru prvního řádku.

    \( \mathbf A\mathbf B_2= \begin{pmatrix} 0 & a_{1{,}1} \\ 0 & a_{2{,}1} \end{pmatrix}\) vybere první sloupec a umístí jej na místo druhého.

    \( \mathbf B_2\mathbf A= \begin{pmatrix} a_{2{,}1} & a_{2{,}2} \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\) vybere druhý řádek a umístí jej na místo prvního.

    \( \mathbf A\mathbf B_3= \begin{pmatrix} a_{1{,}2} & a_{1{,}1} \\ a_{2{,}2} & a_{2{,}1} \end{pmatrix}\) a \(\mathbf B_3\mathbf A= \begin{pmatrix} a_{2{,}1} & a_{2{,}2} \\ a_{1{,}1} & a_{1{,}2} \end{pmatrix} \) t.j. první součin prohodí sloupce, druhý řádky.

    Obecně násobení matice \(\mathbf A\) zleva \(\mathbf B\mathbf A\) odpovídá řádkovým úpravám matice \(\mathbf A\), zatímco součiny zprava \(\mathbf A\mathbf B\) odpovídají sloupcovým úpravám.

Obtížnost: Snadná úloha (řešená úvahou nebo přímo z definic)
Úloha na dokazování, ověřování
En translation
	Zaslat komentář k úloze