Inverze elementárních matic

Určete inverzní matice k následujícím elementárním maticím:

Varianta 1
\[E_{i,j} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & & & \cdots & 0 \\ 0 & \ddots & \ddots & & & & \vdots \\ \vdots & \ddots & 0 & & 1 & & \\ & & & \ddots & & \\ & & 1 & & 0 & \ddots & \vdots \\ \vdots & & & & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & & & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix}\] což je matice, která vznikne z jednotkové prohozením \(i\). a \(j\). řádku.
Výsledek
\(E_{i,j}^{-1}=E_{i,j}\).
Varianta 2
\[E_i(m) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & \cdots & 0\\ 0 & \ddots & \ddots & & \vdots \\ \vdots & \ddots & m & \ddots & \vdots \\ \vdots & & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix}\] kde \(m\) se objevuje pouze v \(i\). sloupci a \(i\). řádku a \(m\ne 0\)
Výsledek
\((E_{i}(m))^{-1}=E_{i}(1/m)\).
Varianta 3
\[E_{i,j}(m) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & \ddots & \ddots & & \vdots & \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & m & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix}\] kde \(m\) se objeví pouze v \(j\). řádku a \(i\). sloupci.
Výsledek
\((E_{i,j}(m))^{-1}=E_{i,j}(-m)\).