Jádro matice
Úloha číslo: 2499
Ukažte, že pro libovolnou matici \(\mathbf A\) řádu \(m \times n\) nad tělesem \(\mathbb K\) platí, že její jádro \(Ker(\mathbf A)\) je podprostorem \(\mathbb K^n\).
Nápověda
Použijte definici jádra a ukažte uzavřenost na sčítání a na skalární násobky.
Řešení
Jsou-li \(\mathbf x,\mathbf x' \in Ker(\mathbf A)\), platí \(\mathbf A\mathbf x=\mathbf A\mathbf x'=\mathbf 0\), tedy i \(\mathbf A(\mathbf x+\mathbf x')=\mathbf A\mathbf x+\mathbf A\mathbf x'=\mathbf 0+\mathbf 0=\mathbf 0\), čili \(\mathbf x+\mathbf x'\in Ker(\mathbf A)\).
Podobně pro \(\mathbf x\in Ker(\mathbf A)\) a \(a\in \mathbb K\) je \(\mathbf A(a\mathbf x)=a(\mathbf A\mathbf x)=a\mathbf 0=\mathbf 0\), čili \(a\mathbf x\in Ker(\mathbf A)\).
Uvědomte si, že přestože v první rovnosti jde o tři různé součiny, lze zaměnit pořadí, kdy bude prováděn skalární násobek.
