Definitnost a součin
Úloha číslo: 4562
Dokažte nebo vyvraťte: Součin pozitivně definitních matic je pozitivně definitní.
Řešení
Součin symetrických matic nemusí být symetrický, stačí tedy najít dvě pozitivně definitní matice, jejichž součin není symetrický, např. \[\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 5 & 1 \\ 5 & 7 & 2 \\ 0 & 4 & 12 \\ \end{pmatrix} \] Kdyby součin vyšel symetrický (hermitovský), pak už bude pozitivně definitní. (Plyne ze simultánní diagonalizovatelnosti normálních matic, což přesahuje učivo 1. r. LA.)
