Bloková matice 2
Úloha číslo: 4442
Cílem úlohy je dokázat následující tvrzení:
Hermitovská bloková matice \( \begin{pmatrix} \boldsymbol A & \boldsymbol B^H \\ \boldsymbol B & \boldsymbol C \end{pmatrix} \) je pozitivně definitní, právě když matice \(\boldsymbol A\) i matice \(\boldsymbol C - \boldsymbol B\boldsymbol A^{-1}\boldsymbol B^H\) jsou obě pozitivně definitní.
Krok 1
Ukažte nejprve, že pokud je \( \begin{pmatrix} \boldsymbol A & \boldsymbol B^H \\ \boldsymbol B & \boldsymbol C \end{pmatrix} \) pozitivně definitní, potom je i \(\boldsymbol A\) pozitivně definitní.Řešení
Předpokládejme, že \(\boldsymbol A\) je řádu \(n\), \(\boldsymbol C\) je řádu \(m\), čili \(\boldsymbol B\in \mathbb C^{m\times n}\). Je-li dán netriviální \(\boldsymbol x=(x_1,\ldots,x_n)^T\in \mathbb C^n\), doplníme jej \(m\) nulami na \(\boldsymbol x'=(x_1,\dots,x_n,0,\dots,0)^T\in \mathbb C^{n+m}\). Potom \(\boldsymbol x^H\boldsymbol A\boldsymbol x = (\overline{x_1},\ldots,\overline{x_n},0,\ldots,0) \begin{pmatrix} \boldsymbol A & \boldsymbol B^H \\ \boldsymbol B & \boldsymbol C \end{pmatrix} (x_1,\ldots,x_n,0,\ldots,0)^T = \boldsymbol x'^H \begin{pmatrix} \boldsymbol A & \boldsymbol B^H \\ \boldsymbol B & \boldsymbol C \end{pmatrix} \boldsymbol x' > 0 \).Krok 2
Jakými elementárními úpravami lze eliminovat matici \(\boldsymbol B\)? Dokážete je zapsat maticovým součinem?Řešení
Protože jsme ukázali, že \(\boldsymbol A\) je pozitivně definitní, je regulární a má tedy inverzní matici \(\boldsymbol A^{-1}\).
Pokud vezmeme prvních \(n\) řádků, čili matici \((\boldsymbol A|\boldsymbol B^H)\) a vynásobíme ji zleva \(\boldsymbol B\boldsymbol A^{-1}\), dostaneme matici \((\boldsymbol B|\boldsymbol B\boldsymbol A^{-1}\boldsymbol B^H)\).
Eliminace matice \(\boldsymbol B\) odpovídá odečtení \(\boldsymbol B\boldsymbol A^{-1}\)-násobku prvních \(n\) řádků od zbývajících \(m\).
Celá úprava lze reprezentovat součinem s regulární maticí \( \begin{pmatrix} \mathbf I_n & \boldsymbol 0_{nm} \\ -\boldsymbol B\boldsymbol A^{-1} & \mathbf I_m \end{pmatrix} \), neboli
\[ \begin{pmatrix} \mathbf I_n & \boldsymbol 0_{nm} \\ -\boldsymbol B\boldsymbol A^{-1} & \mathbf I_m \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol A & \boldsymbol B^H \\ \boldsymbol B & \boldsymbol C \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \boldsymbol A & \boldsymbol B^H \\ \boldsymbol 0_{mn} & \boldsymbol C-\boldsymbol B\boldsymbol A^{-1}\boldsymbol B^H \end{pmatrix} \]Krok 3
Teprve pak využijte znalostí z předchozích dvou úloh.Řešení
Rovnost odvozenou v předchozím kroku ještě navíc přenásobíme zprava hermitovskou transpozicí matice \( \begin{pmatrix} \mathbf I_n & \boldsymbol 0_{nm} \\ -\boldsymbol B\boldsymbol A^{-1} & \mathbf I_m \end{pmatrix} \).
Konkrétně dostaneme: \[ \begin{pmatrix} \mathbf I_n & \boldsymbol 0_{nm} \\ -\boldsymbol B\boldsymbol A^{-1} & \mathbf I_m \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol A & \boldsymbol B^H \\ \boldsymbol B & \boldsymbol C \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathbf I_n & \boldsymbol 0_{nm} \\ -\boldsymbol B\boldsymbol A^{-1} & \mathbf I_m \end{pmatrix}^H= \] \[= \begin{pmatrix} \boldsymbol A & \boldsymbol B^H \\ \boldsymbol 0_{mn} & \boldsymbol C-\boldsymbol B\boldsymbol A^{-1}\boldsymbol B^H \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathbf I_n & -\boldsymbol A^{-1}\boldsymbol B^H \\ \boldsymbol 0_{mn} & \mathbf I_m \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \boldsymbol A & \boldsymbol 0_{nm} \\ \boldsymbol 0_{mn} & \boldsymbol C-\boldsymbol B\boldsymbol A^{-1}\boldsymbol B^H \end{pmatrix} \]
Zjistili jsme, že matice \( \begin{pmatrix} \boldsymbol A & \boldsymbol B^H \\ \boldsymbol B & \boldsymbol C \end{pmatrix} \) a \( \begin{pmatrix} \boldsymbol A & \boldsymbol 0_{nm} \\ \boldsymbol 0_{mn} & \boldsymbol C-\boldsymbol B\boldsymbol A^{-1}\boldsymbol B^H \end{pmatrix} \) jsou buď obě pozitivně definitní, nebo žádná, přičemž druhá z těchto matic je pozitivně definitní právě když \(\boldsymbol A\) i \(\boldsymbol C-\boldsymbol B\boldsymbol A^{-1}\boldsymbol B^H\) jsou pozitivně definitní.
