Hodnost adjungované matice
Úloha číslo: 4467
Nápověda
Případ \(\operatorname{rank}(\boldsymbol{A})= n-1\) vyřešte zvlášť.Řešení
Pokud je \(\boldsymbol{A}\) regulární, je \(\operatorname{adj}\boldsymbol{A}\) také regulární, protože \(\boldsymbol{A}\operatorname{adj}\boldsymbol{A}=\det\boldsymbol{A}\cdot\mathbf{I}\) a hodnost nemůže při provádění maticového součinu stoupnout.
Pokud je \(\boldsymbol{A}\) singulární, tak mohou nastat dva případy: Je-li \(\operatorname{rank}(\boldsymbol{A})\le n-2\), potom každá její podmatice má také hodnost nejvýše \(n-2\) a tedy každá podmatice vzniklá odstraněním jednoho řádku a sloupce je singulární a \(\operatorname{adj}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{0}\) hodnosti \(0\).
Je-li \(\operatorname{rank}(\boldsymbol{A})= n-1\), potom alespoň jedna podmatice je regulární a tedy \(\operatorname{adj}\boldsymbol{A}\ne \boldsymbol{0}\) a má hodnost alespoň 1. Na druhou stranu z rovnosti \(\boldsymbol{A}\operatorname{adj}\boldsymbol{A}=\det\boldsymbol{A}\cdot\mathbf{I}=0\mathbf{I}=\boldsymbol{0}\) vyplývá, že všechny sloupce \(\operatorname{adj}\boldsymbol{A}\) patří do podprostoru řešení soustavy \(\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\) dimenze 1, tedy hodnost \(\operatorname{adj}\boldsymbol{A}\) je právě 1.
Zvlášť je třeba ošetřit případ nulové matice řádu 1, jejíž adjungovaná matice je \(\mathbf{I}_1\) hodnosti 1.
