Matice s parametrem

Úloha číslo: 2724

Pro jaká \(g\in \mathbb R\) je matice \( \mathbf G=\begin{pmatrix} g& 1& 0 \\ 1& g& 1 \\ 0& 1& g \\ \end{pmatrix} \) pozitivně definitní?

  • Řešení

    Řešení I. – pomocí rekurence, resp. Gaussovy eliminace.

    Nutně \(g>0\).

    Dále musí být matice \(\mathbf G_1=\mathbf G'-\frac{1}{g}(1{,}0)^T(1{,}0)= \begin{pmatrix} g- \frac{1}{g} & 1\\ 1& g\\ \end{pmatrix} \) také pozitivně definitní, čili \(g>1\).

    V posledním kroku získáme \(\mathbf G_2=G'_1-\frac{1}{g}(1)^T(1)=(g-\frac{g}{g^2-1})=(\frac{g^3-2g}{g^2-1})\) což je pozitivně definitní matice řádu jedna jen pro \(g>\sqrt{2}\).

    Tentýž výpočet lze provést pomocí elementárních úprav:

    \[ \begin{pmatrix} g& 1& 0 \\ 1& g& 1 \\ 0& 1& g \\ \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} g& 1& 0 \\ 0& \frac{g^2-1}{g}& 1 \\ 0& 1& g \\ \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} g& 1& 0 \\ 0& \frac{g^2-1}{g}& 1 \\ 0& 0& \frac{g(g^2-2)}{g^2-1}\\ \end{pmatrix} \]

    Řešení II. – pomocí determinantů.

    \( \det(\mathbf G)= \begin{vmatrix} g& 1& 0 \\ 1& g& 1 \\ 0& 1& g \\ \end{vmatrix} =g(g^2-2)> 0\) pro \(g\in (-\sqrt{2},0) \cup (\sqrt{2},\infty)\).

    \( \begin{vmatrix} g& 1\\ 1& g\\ \end{vmatrix} =g^2-1> 0\) pro \(g\in (-\infty,-1) \cup (1,\infty)\).

    \(|g|=g>0\) pro \(g\in (0,\infty)\).

    Matice je pozitivně definitní, je-li \(g\) v průniku všech tří množin.

  • Výsledek

    Matice \(\mathbf G\) je pozitivně definitní jen pro \(g>\sqrt{2}\).

Obtížnost: Snadná úloha (řešená úvahou nebo přímo z definic)
Úloha na dokazování, ověřování
En translation
	Zaslat komentář k úloze