Sbírka matematických úloh

Proložení přímky dvěma body

Úloha číslo: 2344

• Varianta 1

  \(A=(1{,}2)\) a \(B=(3{,}4)\)

• Nápověda

  Za \((x_0,y_0)\) lze vzít bod \(A\), hledejte taková \((p,q)\), aby přímka \(\pi\) procházela bodem \(B\) pro \(t=1\).

  Pro získání obecného tvaru rozepište parametrický tvar do dvou rovnic a parametr z jedné dosadíme do druhé.

  Úsekový tvar odvoďte z obecného vydělením \(-c\).

  Směrnicový tvar odvoďte z obecného vyjádřením \(y\) (je-li \(b\ne 0\)).

• Řešení

  Parametrický tvar odvodíme z rovnice \((3{,}4)=(1{,}2)+(p,q)\) čili \((x,y)=(1{,}2)+t(2{,}2)\). Tvar lze zjednodušit vytknutím nejmenšího společného násobku \(p\) a \(q\) z vektoru \((p,q)\) a odečtením \(\frac{x_0}{p}(p,q)\) od \((x_0,y_0)\). Tím dostaneme parametrický tvar \((x,y)=(0{,}1)+t(1{,}1)\).

  Obecný tvar dává dosazení \(t=x\) do \(y=1+t\) neboli \(x-y+1=0\). Obecně lze první vynásobit \(q\), druhou \(-p\) a obě sečíst, pak dostaneme \(a=q,\ b=-p,\ c= py_0-qx_0\).

  Úsekový tvar dává koeficienty \(g=-1\), \(h=1\), čili \(\frac{x}{-1} + \frac{y}{1} = -x+y=1\)

  Směrnicový tvar je \(y=x+1\).

  K jednoznačnosti: Za bod \((x_0,y_0)\) lze vzít kterýkoli bod na přímce \(\pi\), za koeficienty \((p,q)\) lze vzít kterýkoli jejich násobek.

  U směrnicového a úsekového tvaru jsou koeficieny jednoznačné, u obecného tvaru lze vzít libovolný násobek, kupříkladu \(-2x+2y-2=0\).

• Varianta 2

  \(A=(-3{,}0)\) a \(B=(2{,}3)\)

• Výsledek

  Parametrický tvar je \((x,y)=(-3{,}0)+t(5{,}3)\), obecný \(3x-5y+9=0\), úsekový \(\frac{x}{-3}+\frac{y}{9/5}=1\), a směrnicový \(y=\frac{3}{5}x+\frac{9}{5}\).

• Varianta 3

  \(A=(1,-1)\) a \(B=(2{,}2)\)

• Výsledek

  \((x,y)=(1,-1)+t(1{,}3)\), \(3x-y-4=0\), \(\frac{x}{4/3}+\frac{y}{-4}=1\), \(y=3x-4\).

• Varianta 4

  \(A=(2,-1)\) a \(B=(2{,}4)\)

• Výsledek

  \((x,y)=(2,-1)+t(0{,}1)\), \(x-2=0\), úsekový ani směrnicový tvar neexistuje (\(\pi\) je rovnoběžná s osou \(y\)).

• Varianta 5

  \(A=(0{,}1)\) a \(B=(4{,}3)\)

• Výsledek

  \((x,y)=(0{,}1)+t(2{,}1)\), \(x-2y+2=0\), \(\frac{x}{-2}+\frac{y}{1}=1\), \(y=\frac{1}{2}x+1\).

• Varianta 6

  \(A=(2{,}1)\) a \(B=(4{,}2)\)

• Výsledek

  \((x,y)=(0{,}0)+t(2{,}1)\), \(x-2y=0\), úsekový tvar neexistuje (\(\pi\) prochází počátkem), \(y=\frac{1}{2}x\).

• Varianta 7

  \(A=(0{,}3)\) a \(B=(-2{,}3)\)

• Výsledek

  \((x,y)=(0{,}3)+t(1{,}0)\), \(y-3=0\), úsekový tvar neexistuje (\(\pi\) je rovnoběžná s osou \(x\)), \(y=3\).