Odvození elementárních úprav
Úloha číslo: 3239
Ukažte, že elementární úpravy:
– záměna dvou rovnic a
– přičtení \(t\) násobku \(j\)-té rovnice k \(i\)-té
se dají provést pomocí elementárních úprav:
– vynásobení \(i\)-té rovnice nenulovým číslem \(t\)
– přičtení \(j\)-té rovnice k \(i\)-té
Řešení
Záměna dvou rovnic, \(i\)-té a \(j\)-té: \[ \begin{pmatrix} a_{11} & … & a_{1n} \\ a_{i1} & … & a_{in} \\ a_{j1} & … & a_{jn} \\ a_{m1} & … & a_{mn} \\ \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} a_{11} & … & a_{1n} \\ a_{i1}+a_{j1} & … & a_{in}+a_{jn} \\ a_{j1} & … & a_{jn} \\ a_{m1} & … & a_{mn} \\ \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} a_{11} & … & a_{1n} \\ a_{i1}+a_{j1} & … & a_{in}+a_{jn} \\ -a_{i1} & … & -a_{in} \\ a_{m1} & … & a_{mn} \\ \end{pmatrix}\sim \] \[\sim \begin{pmatrix} a_{11} & … & a_{1n} \\ a_{j1} & … & a_{jn} \\ -a_{i1} & … & -a_{in} \\ a_{m1} & … & a_{mn} \\ \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} a_{11} & … & a_{1n} \\ a_{j1} & … & a_{jn} \\ a_{i1} & … & a_{in} \\ a_{m1} & … & a_{mn} \\ \end{pmatrix} \] Přičtení \(t\) násobku \(j\)-té rovnice k \(i\)-té:
Jestliže \(t=0\), soustava se nezmění. Můžeme proto předpokládat, že \(t\ne 0\) \[ \begin{pmatrix} a_{11} & … & a_{1n} \\ a_{i1} & … & a_{in} \\ a_{j1} & … & a_{jn} \\ a_{m1} & … & a_{mn} \\ \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} a_{11} & … & a_{1n} \\ a_{i1} & … & a_{in} \\ ta_{j1} & … & ta_{jn} \\ a_{m1} & … & a_{mn} \\ \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} a_{11} & … & a_{1n} \\ a_{i1}+ta_{j1} & … & a_{in}+ta_{jn} \\ ta_{j1} & … & ta_{jn} \\ a_{m1} & … & a_{mn} \\ \end{pmatrix}\sim \] \[\sim \begin{pmatrix} a_{11} & … & a_{1n} \\ a_{i1}+ta_{j1} & … & a_{in}+ta_{jn} \\ a_{j1} & … & a_{jn} \\ a_{m1} & … & a_{mn} \\ \end{pmatrix} \]
