Izometrie v rovině
Úloha číslo: 4357
Pro následující geometrická zobrazení v rovině určete jejich matice vzhledem ke kanonické bázi a rozhodněte, zda jde o izometrie:
a) rotace v rovině kolem počátku o úhel \(\alpha\) proti směru hodinových ručiček.
b) osová souměrnost podle osy procházející počátkem svírající s osou \(x\) úhel \(\alpha\) v prvním kvadrantu.
Všimněte si, že izometrie v euklidovských prostorech jde rozdělit na dvě skupiny. Zkuste je popsat jak geometricky, tak algebraicky.
Řešení
a) Matice zobrazení je tvořena obrazy vektorů kanonické báze, čili: \( [f]_{K,K}= \begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix} \).
Protože \([f]_{K,K}^T[f]_{K,K} = \begin{pmatrix} \cos^2\alpha+\sin^2\alpha & -\cos\alpha\sin\alpha+\sin\alpha\cos\alpha \\ -\sin\alpha\cos\alpha+\cos\alpha\sin\alpha & (-\sin\alpha)^2+\cos^2\alpha \end{pmatrix} = \mathbf I_2\), jde o izometrii.
b) Matice zobrazení je tvořena obrazy vektorů kanonické báze, čili: \( [f]_{K,K}= \begin{pmatrix} \cos2\alpha & \sin2\alpha \\ \sin2\alpha & -\cos2\alpha \end{pmatrix} \).
Protože \([f]_{K,K}^T[f]_{K,K}= = \begin{pmatrix} \cos^22\alpha+\sin^22\alpha & \cos2\alpha\sin2\alpha-\sin2\alpha\cos2\alpha \\ \sin2\alpha\cos2\alpha-\cos2\alpha\sin2\alpha & \sin^22\alpha+(-\cos2\alpha)^2 \end{pmatrix} = \mathbf I_2\), jde o také izometrii.
Protože \(\mathbf I=[f]_{K,K}^T[f]_{K,K}\), je také \(1=\det(\mathbf I)=\det([f]_{K,K}^T)\det([f]_{K,K})=\det([f]_{K,K})^2\), čili každá izometrie e Euklidovském prostoru má nutně druhou mocninu determinantu matice zobrazení rovnu jedné.
V našem případě má první matice determinant \(1\), zatímco druhá \(-1\).
Výsledek
Ano, obě zobrazení jsou o izometrie.
Izometrie v euklidovských prostorech lze rozdělit na ty s kladným znaménkem determinantu matice zobrazení (zachovávající orientaci) a se záporným (převracející orientaci).
