Sbírka matematických úloh

Symetrická matice formy

Úloha číslo: 2733

• Varianta 1

  Řešte pro \(\mathbb K=\mathbb R\).

• Výsledek

  \(f(\mathbf u,\mathbf v)=\mathbf u^T \mathbf A \mathbf v= u_1v_1 -2u_1v_2 +2u_2v_1-u_2v_3-2u_3v_1+2u_3v_2\).
  \(g(\mathbf v)=\mathbf v^T \mathbf A \mathbf v= v_1^2 - 2v_1v_3 + v_2v_3\).

  Stejnou formu vyjadřuje i \(\mathbf A'=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & \frac12 \\ -1 & \frac12 & 0 \\ \end{pmatrix} \)

• Varianta 2

  Řešte pro \(\mathbb K=\mathbb Z_2\) (číslo 2 v \(\mathbb Z_2\) odpovídá 0).

• Výsledek

  \(f(\mathbf u,\mathbf v)=\mathbf u^T \mathbf A \mathbf v= u_1v_1+u_2v_3\).
  \(g(\mathbf v)=\mathbf v^T \mathbf A \mathbf v= v_1^2 +v_2v_3\).
  Symetrická matice této formy neexistuje.

• Varianta 3

  Řešte pro \(\mathbb K=\mathbb Z_3\).

• Výsledek

  \(f(\mathbf u,\mathbf v)=\mathbf u^T \mathbf A \mathbf v= u_1v_1+u_1v_2 +2u_2v_1+2u_2v_3+u_3v_1+2u_3v_2\).
  \(g(\mathbf v)=\mathbf v^T \mathbf A \mathbf v= v_1^2 + v_1v_3 + v_2v_3\).

  Stejnou formu vyjadřuje i \(\mathbf A'=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 2 \\ 2 & 2 & 0 \\ \end{pmatrix} \)