Sbírka matematických úloh

Mocniny v konečných tělesech

Úloha číslo: 2471

• Varianta 1

  Určete hodnoty \(2^{101},3^{1\,001}\) a \(4^{1\,000\,001}\) v tělese \(\mathbb Z_{17}\).

• Nápověda

  Počítete mocniny daného základu a všimněte si, kdy poprvé se vyskytne jednotka.

• Řešení

  \(2^8=1\) čili \(2^{101}=2^{8{\cdot} 12+5}=(2^8)^{12}\cdot 2^5=1^{12}\cdot 15 = 15\).

  \(3^{16}=1\) čili \(3^{1001}=3^{16{\cdot} 62+9}=(3^{16})^{62}\cdot 3^9=1^{62}\cdot 14 = 14\).

  \(4^{4}=1\) čili \(4^{1000001}=4^{4{\cdot} 250000+1}=(4^4)^{250000}\cdot 4^1=1^{250000}\cdot 4 = 4\).

• Varianta 2

  Určete hodnoty \(5^{100},8^{200},11^{300}\) a \(18^{400}\) v tělese \(\mathbb Z_{19}\).

• Řešení

  \(5^9=1\) čili \(5^{100}=1{\cdot} 5^1 = 5\).

  \(8^6=1\) čili \(8^{200}=1{\cdot} 8^2 = 7\).

  \(11^3=1\) čili \(11^{300}=(11^3)^{100} = 1\).

  \(18^2=1\) čili \(18^{400}=(18^2)^{200} = 1.\\\)

  Mimochodem, z malé Fermatovy věty \[\forall {\rm prvočíslo}\ p, \forall a\in \mathbb N: \quad p\nmid a \quad\Longrightarrow\quad a^{p-1}\equiv 1 \quad({\rm mod\ } p)\] plyne, že při mocnění v \(\mathbb Z_p\) lze exponent vždy zredukovat na zbytek po dělení \(p-1\).