Znaménko permutace

Určete znaménko následující permutace

Varianta 1
\(p=(1\ 3\ 5\ \cdots\ (2n-1)\ 2\ 4\ 6\ \cdots\ 2n)\)
Nápověda
Znaménko je rovno paritě počtu inversí.
Výsledek
\(sgn(p)=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}\).
Varianta 2
\(p=(1\ 4\ 7\ \cdots\ (3n-2)\ 2\ 5\ 8\ \cdots\ (3n-1)\ 3\ 6\ 9\ \cdots\ 3n)\)
Výsledek
\(sgn(p)=(-1)^{\frac{3n(n-1)}{2}}=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}\) protože \(3n(n-1)\equiv -n(n-1) \pmod 4\)
Varianta 3
\(p=(2\ 5\ 8\ \cdots\ (3n-1)\ 3\ 6\ 9\ \cdots\ 3n\ 1\ 4\ 7\ \cdots\ (3n-2))\)
Výsledek
\(sgn(p)=(-1)^{\frac{n(3n+1)}{2}}=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}\) protože \(3n^2+n \equiv -n^2+n=-n(n-1) \pmod 4\)
Varianta 4
\(p=(3\ 6\ 9\ \cdots\ 3n\ 2\ 5\ 8\ \cdots\ (3n-1)\ 1\ 4\ 7\ \cdots\ (3n-2))\)
Výsledek
\(sgn(p)=(-1)^{\frac{3n(n+1)}{2}}=(-1)^{\frac{n(n+1)}{2}}\) protože \(3n(n+1)\equiv -n(n+1) \pmod 4\)