Proložení kružnice opsané
Úloha číslo: 2349
Řešte úlohu nalezení rovnice kružnice obsahující danou trojici bodů \(A=(2{,}1)\), \(B=(4{,}3)\) a \(C=(0{,}7)\) pomocí soustavy lineárních rovnic.
Nápověda
Dosaďte body \(A\), \(B\) a \(C\) do rovnice kružnice \((x-m)^2+(y-n)^2=r^2\) a po odečtení kvadratických členů získejte souřadnice stredu \(S=(m,n)\).
Řešení
Dosazením získáme rovnice
\[\begin{eqnarray*} (2-m)^2 + (1-n)^2 = r^2 \\ (4-m)^2 + (3-n)^2 = r^2 \\ (0-m)^2 + (7-n)^2 = r^2 \end{eqnarray*}\]
Po rozepsání
\[\begin{eqnarray*} -4m + m^2 -2n + n^2 + 5 = r^2 \\ -8m+ m^2 -6n + n^2 + 25 = r^2 \\ m^2 -14n+ n^2 + 49 = r^2 \end{eqnarray*}\]
Odečtením třetí od prvních dvou máme soustavu lineárních rovnic o dvou neznámých.
\[\begin{eqnarray*} -4m +12n - 44 = 0 \\ -8m + 8n - 24 = 0 \\ \end{eqnarray*}\]
Z těchto rovnic spočteme neznámé souřadnice středu \(S\) a dosazením do některé z původních rovnic i hledaný poloměr \(r\).
Výsledek
Rovnice kružnice zní: \((x-1)^2+(y-4)^2=10\).
Všimněte si, že střed \(S\) leží uprostřed úsečky \(AC\), trojúhelník \(ABC\) je tedy pravoúhlý.
