Zobrazení prosté a na

Označme \(P\) prostor reálných polynomů stupně nejvýše 2. Rozhodněte, která z následujících lineárních zobrazení jsou prostá a která na:

Varianta
\(f:\mathbb{R}^{2\times2} \to \mathbb{R}^3\) dané předpisem \(f\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = (a + b + c, a + b, a)^T\)
Řešení
Sestavíme matici zobrazení vůři standardní bázi: \([f]_{E,E}= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0\\ \end{pmatrix}\)

Hodnost matice je 3.

Protože hodnost matice je menší než dimenze výchozího prostoru (definičního oboru zobrazení), není toto zobrazení prosté.
Protože se hodnost matice shoduje s dimenzí cílového prostoru (oboru hodnot), je toto zobrazení na.
Odpověď
Zobrazení není prosté, ale je na.
Varianta
\(f:\mathbb{R}^{2\times2} \to \mathbb{R}^4\) dané předpisem \(f\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = (a + b + c + d, a + b + c, a + b, a)^T\)
Odpověď
Zobrazení je bijekce, čili prosté i na.
Varianta
\(f:\mathbb{R}^{2\times2} \to P\) dané předpisem \(f\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = (a + b)x^2 + (c + d)x + c\)
Odpověď
Zobrazení je na, není prosté.
Varianta
\(f:P \to \mathbb{R}^4\) dané předpisem \(f(ax^2 + bx + c) = (a - b + c, b + c, a + 2c, a - c)^T\)
Odpověď
Zobrazení je prosté, není na.
Varianta
\(f:P \to \mathbb{R}^3\) dané předpisem \(f(ax^2 + bx + c) = (a + b, 2b - c, a - b + c)^T\)
Odpověď
Zobrazení není prosté ani na.
Varianta
\(f:P \to \mathbb{R}^3\) dané předpisem \(f(ax^2 + bx + c) = (a + b, 2b - c, a - b + 2c)^T\)
Odpověď
Zobrazení je bijekce, čili prosté i na.