Matice zobrazení z obrazů vektorů
Úloha číslo: 2553
Nalezněte matici zobrazení \(f:\mathbb Z_5^3\to \mathbb Z_5^3\) vůči kanonické bázi \(K\) (shodná báze v obou prostorech). O zobrazení \(f\) je známo, že převádí vektory \(u_1=(2{,}4,1)^T\), \(u_2=(2{,}3,4)^T\) a \(u_3=(3{,}0,1)^T\) na vektory \(f(u_1)=(2{,}1,2)^T\), \(f(u_2)=(0{,}4,1)^T\) a \(f(u_3)=(4{,}4,1)^T\).
Nápověda
Použijte vztah \([f(u)]_K=[f]_{KK}[u]_K\).
Řešení
Vycházíme z maticové rovnice \( \begin{pmatrix} 2 & 0 & 4\\ 1 & 4 & 4\\ 2 & 1 &1\\ \end{pmatrix} =[f]_{KK} \begin{pmatrix} 2 & 2 & 3\\ 4 & 3 & 0\\ 1 & 4 &1\\ \end{pmatrix} \).
Tuto přinásobíme zprava maticí \( \begin{pmatrix} 2 & 2 & 3\\ 4 & 3 & 0\\ 1 & 4 &1\\ \end{pmatrix}^{-1}= \begin{pmatrix} 4 & 0 & 3\\ 3 & 2 & 1\\ 4 & 2 &4\\ \end{pmatrix} \).
Výsledek
Maticí zobrazení je \( [f]_{KK}=\begin{pmatrix} 4 & 3 & 2\\ 2 & 1 & 3\\ 0 & 4 &1\\ \end{pmatrix} \)