Determinant trojúhelníkové matice
Úloha číslo: 4432
Jaký je vzorec pro determinant trojúhelníkových matic následujícího typu?
\[
\begin{pmatrix}
a_{11} & \dots & \dots & a_{2,n-1} & a_{1n} \\
a_{21} & \dots & a_{2,n-2} & a_{2,n-1} & 0 \\
\vdots & & & & \vdots \\
a_{n-1{,}1} & a_{n-1{,}2} & 0 & \dots& 0 \\
a_{n1} & 0 & \dots & \dots & 0
\end{pmatrix}
\]
Řešení
Znaménko permutace odpovídající vedlejší diagonále závisí na \(n\). Jde o permutaci \((n,n-1,\dots,1)\). Ta má \(\frac{n(n-1)}2\) inverzí, a její znaménko je \((-1)^{\frac{n(n-1)}2}\).
\[\begin{vmatrix} a_{11} & \dots & \dots & a_{2,n-1} & a_{1n} \\ a_{21} & \dots & a_{2,n-2} & a_{2,n-1} & 0 \\ \vdots & & & & \vdots \\ a_{n-1{,}1} & a_{n-1{,}2} & 0 & \dots& 0 \\ a_{n1} & 0 & \dots & \dots & 0 \end{vmatrix} = (-1)^{\frac{n(n-1)}2} \prod\limits_{i=1}^n a_{i,n+1-i} \]Znaménko se mění po dvou krocích, tedy \(+,-,-,+,+,-,-,\cdots\).
