Skalární součin z ON báze
Úloha číslo: 4428
Předpokládejte, že \(B =\{(1, 1)^T, (2,-1)^T\}\) je ortonormální báze prostoru \(\mathbb R^2\) vzhledem k nějakému nestandardnímu skalárnímu součinu.
Jinými slovy, nemáte k dispozici předpis skalárního součinu, ale zato o některých vektorech víte, že jsou na sebe navzájem kolmé.
Vzhledem k tomuto skalárnímu součinu určete:
- hodnotu \(\langle(1{,}4)^T|(2, 0)^T\rangle\),
- množinu vektorů kolmou na \(\mathcal L\{(4, 1)^T\}\).
Řešení 1
Třeba určit souřadnice daných vektorů vůči bázi \(B\). \[ \left( \begin{array}{cc|cc} 1 & 2 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 4 & 0 \end{array} \right) \sim \left( \begin{array}{cc|cc} 1 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & -3 & 3 & -2 \end{array} \right) \sim \left( \begin{array}{cc|cc} 1 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & \frac23 \end{array} \right) \sim \left( \begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & 3 & \frac23 \\[1mm] 0 & 1 & -1 & \frac23 \end{array} \right) \]Čili \([(1{,}4)^T]_B=(3,-1)^T\) a \([(2{,}0)^T]_B=\bigl(\frac23 ,\frac23 \bigr)^T\).
Nyní \(\langle(1{,}4)^T|(2, 0)^T\rangle=[(2{,}0)^T]_B^T[(1{,}4)^T]_B=\bigl(\frac23 ,\frac23 \bigr)(3,-1)^T=\frac43\).
Řešení 2
Označme matici sestavenou z vektorů báze \(B\) symbolem \( \mathbf{B}= \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \)
Všimněte si, že pro libovolný vektor \(\mathbf{u}\in \mathbb R^2\) platí \( [\mathbf{u}]_B= \mathbf{B}^{-1}\mathbf{u}= \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}^{-1} \mathbf{u} = \begin{pmatrix} \frac13 & \frac23 \\[1mm] \frac13 & -\frac13 \end{pmatrix} \mathbf{u} \).
Potom lze odvodit předpis pro skalární součin následovně: \(\langle\mathbf{u}|\mathbf{v}\rangle=[\mathbf{v}]_B^T[\mathbf{u}]_B= (\mathbf{B}^{-1}\mathbf{v})^T\mathbf{B}^{-1}\mathbf{u}= \mathbf{v}^T(\mathbf{B}^{-1})^T\mathbf{B}^{-1}\mathbf{u} \) \( = \mathbf{v}^T \begin{pmatrix} \frac13 & \frac13 \\[1mm] \frac23 & -\frac13 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac13 & \frac23 \\[1mm] \frac13 & -\frac13 \end{pmatrix} \mathbf{u} = \mathbf{v}^T \begin{pmatrix} \frac29 & \frac19 \\[1mm] \frac19 & \frac59 \end{pmatrix} \mathbf{u} =\frac19(2u_1v_1+u_1v_2+u_2v_1+5u_2v_2) \)
Vskutku: \(\langle{(1{,}4)^T}|{(2, 0)^T}\rangle =\frac19(2{\cdot}1\cdot2+1{\cdot}0+4{\cdot}2+5{\cdot}4\cdot0)= \frac19(4+0+8+0)=\frac43 \)
Odpověď
Hodnota skalárního součinu \(\langle{(1{,}4)^T}|{(2, 0)^T}\rangle\) je \(\frac43 \).Řešení
S využitím výpočtů z předchozí části, musí každý vektor \(\mathbf{u}\) kolmý na \((4{,}1)^T\) splňovat \( (4{,}1) \begin{pmatrix} \frac29 & \frac19 \\[1mm] \frac19 & \frac59 \end{pmatrix} \mathbf{u} =0\)
Čili \((1{,}1)\mathbf{u}=0\), což (bráno jako soustava jedné rovnice o dvou neznámých) dává \(c(1,-1)^T\).
Odpověď
Vektory kolmé na \((4{,}1)^T\) tvoří přímku \(c(1,-1)^T\).
