Pozitivně definitní forma

Rozhodněte, zdali platí, že \(g(\mathbf u)>0\) pro všechna netriviální \(\mathbf u=(x_1, x_2, x_3)\in \mathbb R^3\).

Varianta 1
\(g(\mathbf u)=x_1^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2^2+5x_3^2\)
Řešení
Sestavíme matici formy

\( \mathbf A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 5 \end{pmatrix} \)

a rozhodneme, zdali je pozitivně definitní.

Např. \(|\mathbf A|=3>0\), \(\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} =1 > 0 \) a také \(|1|=1>0\).
Výsledek
Ano, \(g(\mathbf u)>0\) pro všechna \(\mathbf u\ne \mathbf 0\).
Varianta 2
\(g(\mathbf u)=x_1^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2^2+5x_3^2+2ax_2x_3\), řešte vzhledem k parametru \(a\).

Je pro ostatní volby \(a\) hodnota \(g(\mathbf u)\le 0\) pro všechna \(\mathbf u\)?
Řešení
\( \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & a \\ 1 & a & 5 \end{vmatrix} = -a^2+2a+3>0 \) pro \(a\in (-1{,}3)\).

Zbylé dva determinanty jsou stejné jako v předchozí variantě a tedy kladné.
Výsledek
Platí \(g(\mathbf u)>0\) pro \(a\in (-1, 3)\).

Pro \(a\not\in (-1, 3)\) a \(\mathbf e^1=(1, 0, 0)^T\) je \(g(\mathbf e^1)=1\), tedy forma \(g\) může stále nabývat kladných hodnot – odpověď je tedy negativní.