Konečný prostor
Úloha číslo: 2495
Kolik prvků má aritmetický vektorový prostor \(\mathbb Z_5^4\)? Kolik prvků má nějaký nejmenší a nějaký největší vlastní podprostor \(\mathbb Z_5^4\)? Vypište prvky nejmenšího podprostoru \(\mathbb Z_5^4\), který obsahuje vektory \((0{,}0,0{,}4)^T,(2{,}4,3{,}2)^T\) a \((1{,}2,4{,}3)^T\).
Řešení
\(|\mathbb Z_5^4|=625\). Nejmenší podprostor \(\mathbb Z_5^4\) je \(\{(0{,}0,0{,}0)^T\}\), největší vlastní podprostor je např. \(\{(a,b,c,0)^T, a,b,c\in \mathbb Z_5\}\) mohutnosti 125.
Podprostor \([(0{,}0,0{,}4)^T,(2{,}4,3{,}2)^T,(1{,}2,4{,}3)^T]\) má 25 prvků a to:
\(\{(0{,}0,0{,}0)^T,(0{,}0,0{,}1)^T,(0{,}0,0{,}2)^T,(0{,}0,0{,}3)^T,(0{,}0,0{,}4)^T,\\ (2{,}4,3{,}2)^T,(2{,}4,3{,}3)^T,(2{,}4,3{,}4)^T,(2{,}4,3{,}0)^T,(2{,}4,3{,}1)^T,\\ (4{,}3,1{,}4)^T,(4{,}3,1{,}0)^T,(4{,}3,1{,}1)^T,(4{,}3,1{,}2)^T,(4{,}3,1{,}3)^T,\\ (1{,}2,4{,}1)^T,(1{,}2,4{,}2)^T,(1{,}2,4{,}3)^T,(1{,}2,4{,}4)^T,(1{,}2,4{,}0)^T,\\ (3{,}1,2{,}3)^T,(3{,}1,2{,}4)^T,(3{,}1,2{,}0)^T,(3{,}1,2{,}1)^T,(3{,}1,2{,}2)^T\}\)
