Rovnice s lineárním zobrazením
Úloha číslo: 4461
Řešení
Matice zobrazení vůči standardním bázím je \([f]_{E,E}= \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \sim\sim \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \)
Jádro zobrazení je množina řešení homogenní soustavy s touto maticí. Zde \(z\) je volná proměnná, a proto je množinou řešení \(ker(f)=span((1{,}1,1)^T)\)
Obor hodnot je lineární obal sloupců odpovídajících bázickým proměnným, čili \(f(\mathbb{R}^3)=span((1{,}0,-1)^T,(-1{,}1,0)^T)\).
Vzor vektoru \((1, 1, -2)^T\) získáme jako afinní prostor vzniklý přičtením jednoho konkrétního řešení rovnice \(f(\mathbf{x})=(1, 1, -2)^T\) k jádru zobrazení. Jde o řešení nehomogenní soustavy s pravou stranou \((1, 1, -2)^T\):
\(\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & -1 & 1\\ -1 & 0 & 1 & -2\\ \end{array} \right) \sim\sim \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{array} \right) \sim \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{array} \right) \)Odtud \(f^{-1}((1, 1, -2)^T)=(2{,}1,0)^T+span((1{,}1,1)^T)\).
Odpověď
Jádro zobrazení \(f\) je jednodimenzionální podprostor \(ker(f)=span((1{,}1,1)^T)\).
Obraz je dvoudimenzionální podprostor \(f(\mathbb{R}^3)=span((1{,}0,-1)^T,(-1{,}1,0)^T)\).
Vzorem daného vektoru je afinní podprostor \(f^{-1}((1, 1, -2)^T)=(2{,}1,0)^T+span((1{,}1,1)^T)\).
