Rovnice s lineárním zobrazením

Úloha číslo: 4461

Pro zobrazení \(f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3\) dané \(f(x, y, z) = (x - y, y - z, z - x)^T\) určete jádro \(\ker(f)\), obraz \(f(\mathbb{R}^3)\) a vzor \(f^{-1}((1, 1, -2)^T)\).
  • Řešení

    Matice zobrazení vůči standardním bázím je \([f]_{E,E}= \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \sim\sim \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \)

    Jádro zobrazení je množina řešení homogenní soustavy s touto maticí. Zde \(z\) je volná proměnná, a proto je množinou řešení \(ker(f)=span((1{,}1,1)^T)\)

    Obor hodnot je lineární obal sloupců odpovídajících bázickým proměnným, čili \(f(\mathbb{R}^3)=span((1{,}0,-1)^T,(-1{,}1,0)^T)\).

    Vzor vektoru \((1, 1, -2)^T\) získáme jako afinní prostor vzniklý přičtením jednoho konkrétního řešení rovnice \(f(\mathbf{x})=(1, 1, -2)^T\) k jádru zobrazení. Jde o řešení nehomogenní soustavy s pravou stranou \((1, 1, -2)^T\):

    \(\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & -1 & 1\\ -1 & 0 & 1 & -2\\ \end{array} \right) \sim\sim \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{array} \right) \sim \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{array} \right) \)

    Odtud \(f^{-1}((1, 1, -2)^T)=(2{,}1,0)^T+span((1{,}1,1)^T)\).

  • Odpověď

    Jádro zobrazení \(f\) je jednodimenzionální podprostor \(ker(f)=span((1{,}1,1)^T)\).

    Obraz je dvoudimenzionální podprostor \(f(\mathbb{R}^3)=span((1{,}0,-1)^T,(-1{,}1,0)^T)\).

    Vzorem daného vektoru je afinní podprostor \(f^{-1}((1, 1, -2)^T)=(2{,}1,0)^T+span((1{,}1,1)^T)\).

Obtížnost: Snadná úloha (řešená úvahou nebo přímo z definic)
Úloha řešená úvahou
Úloha na trénování výpočtu
En translation
	Zaslat komentář k úloze