Substituce na matici řádu n
Úloha číslo: 4565
Pro \(n\in \mathbb N\) vyřešte soustavu \(n\) lineárních rovnic \(\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol b\) s čtvercovou maticí \(\boldsymbol A= \begin{pmatrix} 1 & 0 & \dots & \dots & \dots & 0 \\ 2 & 1 & \ddots & & & \vdots \\ 3 & 2 & 1 & \ddots & & \vdots \\ 4 & 3 & 2 & 1 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ n & \dots & 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}\) řádu \(n\), a \(n\)-složkovým vektorem \( \boldsymbol b= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \\ 2 \\ \vdots\\ \lceil\tfrac{n}2\rceil \end{pmatrix} \)
(Formálně jsou prvky matice dány předpisem: \(a_{i,j}=\max\{i-j+1{,}0\}\); a složky vektoru: \(b_i=\lceil\tfrac{n}2\rceil\).)
Řešení
Z první rovnice plyne: \(x_1=1\). Z druhé \(2{\cdot} 1 + x_2 = 1 \Rightarrow x_2= -1\).
Vyřešením několika dalších rovnic si všimneme, že \(x_i=1\) pro lichá \(i\) a \(x_i=-1\) pro sudá.
Tento výpočet lze formálně popsat pomocí matematické indukce pro \(k=1{,}2,\dots,\lceil\tfrac{n}2\rceil\):
- \(i=2k-1\): dosazení \(x_1,\dots,x_{i-1}\) do \(i\)-té rovnice vede na:
\(i-(i-1)+(i-2)-(i-3)+\cdots+3-2+x_i=k \Rightarrow k-1+x_i=k \Rightarrow x_i=1\),
protože konstantní členy na levé straně odpovídají součtu \(k-1\) rozdílů, přičemž každý rozdíl dvou po sobě jdoucích čísel má hodnotu vždy 1. Formálněji:
\((i-(i-1))+((i-2)-(i-3))+\cdots+(3-2)=\underbrace{1+1+\cdots+1}_{(k-1) \times}=k-1\). - \(i=2k\): dosazení \(x_1,\dots,x_{i-1}\) do \(i\)-té rovnice vede podobně na \(i-(i-1)+(i-2)-(i-3)+\cdots+4-3+2+x_i=k \Rightarrow k-1+2+x_i=k \Rightarrow x_i=-1\).
- \(i=2k-1\): dosazení \(x_1,\dots,x_{i-1}\) do \(i\)-té rovnice vede na:
Odpověď
Řešením je \(\boldsymbol x=(1,-1{,}1,-1,\dots,(-1)^{n+1})^\mathrm{T}\), neboli \(x_i=(-1)^{i+1}\).