Prostor komutujících matic
Úloha číslo: 2500
Vezměme pevnou čtvercovou matici \(\mathbf D\) nad tělesem \(\mathbb K\). Ukažte, že matice, které v součinu komutují s maticí \(\mathbf D\) tvoří vektorový prostor.
Nápověda
Ukažte, že se jedná o podprostor prostoru všech čtvercových matic nad \(\mathbb K\).
Řešení
Nulová matice komutuje triviálně.
\((\mathbf A + \mathbf B)\cdot\mathbf D = \mathbf A\mathbf D + \mathbf B\mathbf D = \mathbf D\mathbf A + \mathbf D\mathbf B = \mathbf D\cdot(\mathbf A + \mathbf B)\)
\((a\mathbf A)\cdot\mathbf D = a(\mathbf A\cdot\mathbf D) = a(\mathbf D\cdot\mathbf A) = \mathbf D\cdot(a\mathbf A)\)
