Matice řádu n
Úloha číslo: 4438
Nápověda
Použijte Sylvesterovo kritérium.Řešení
Platí \(\det\boldsymbol A_1=|2|=2\), \(\det\boldsymbol A_2= \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} =3\), \(\det\boldsymbol A_3= \begin{vmatrix} 2 & -1 & 0\\ -1 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & 2 \end{vmatrix} =4\).
Laplaceovým rozvojem podle prvního řádku dostáváme: \[\det\boldsymbol A_n= \begin{vmatrix} 2 & -1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ -1 & 2 & -1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & -1 & 2 & -1 & \ddots & \vdots \\ \vdots & 0 & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & -1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & -1 & 2\\ \end{vmatrix} = 2 \begin{vmatrix} 2 & -1 & 0 & \cdots & 0 \\ -1 & 2 & -1 & \ddots & \vdots \\ 0 & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ \vdots & \ddots & -1 & 2 & -1 \\ 0 & \cdots & 0 & -1 & 2\\ \end{vmatrix} - (-1) \begin{vmatrix} -1 & -1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 2 & -1 & \ddots & \vdots \\ 0 & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ \vdots & \ddots & -1 & 2 & -1 \\ 0 & \cdots & 0 & -1 & 2\\ \end{vmatrix}\]Poslední determinant rozvineme podle prvního sloupce a dostaneme rekurentní vztah:
\(\det\boldsymbol A_n= 2 \det \boldsymbol A_{n-1} - \det \boldsymbol A_{n-2}\).
Odtud indukcí odvodíme očekávané pravidlo \(\det\boldsymbol A_n=n+1\), dosazením do rekurentního vztahu:
\(\det\boldsymbol A_n= 2 \det \boldsymbol A_{n-1} - \det \boldsymbol A_{n-2} = 2 (n-1+1)-(n-2+1)=n+1\).
Nyní přímočarou aplikací Sylvesterovy podmínky dostáváme, že všechny determinanty matic \(\boldsymbol A_1, \ldots, \boldsymbol A_n\) jsou kladné, čili každá matice \(\boldsymbol A_n\) je pozitivně definitní.
Odpověď
Matice \(\boldsymbol A_n\) je vždy pozitivně definitní.
