Operace na pozitivně definitních maticích
Úloha číslo: 2723
Ukažte, že pro pozitivně definitní matice \(\mathbf A\) a \(\mathbf B\):
Varianta 1
Je i matice \(\mathbf A+\mathbf B\) pozitivně definitní.
Řešení
\(\mathbf x^H(\mathbf A+\mathbf B)\mathbf x=\mathbf x^H \mathbf A\mathbf x + \mathbf x^H\mathbf B \mathbf x> 0\) pro \(\mathbf x\ne \mathbf 0\).
Varianta 2
Je i matice \(\mathbf A^{-1}\) pozitivně definitní (t.j. ukažte zároveň, že \(\mathbf A\) je regulární).
Řešení
Rovnice \(\mathbf A\mathbf x=\mathbf 0\) má pouze triviální řešení, t.j. matice \(\mathbf A\) je regulární a existuje \(\mathbf A^{-1}\).
Potom pokud \(\mathbf x\ne\mathbf 0\) máme
\(\mathbf x^H\mathbf A^{-1}\mathbf x=\mathbf x^H\mathbf A^{-1}\mathbf A\mathbf A^{-1}\mathbf x=\mathbf y^H\mathbf A\mathbf y>0\) pro \(\mathbf y=\mathbf A^{-1}\mathbf x\ne\mathbf 0\).Povšimněte si, že jsme při určení \(\mathbf y^H\) využili faktu
\((\mathbf A^{-1})^H=(\mathbf A^{-1})^H(\mathbf A\mathbf A^{-1})=((\mathbf A^{-1})^H\mathbf A^H)\mathbf A^{-1}=(\mathbf A\mathbf A^{-1})^H\mathbf A^{-1}=\mathbf A^{-1}\).Alternativně, je-li \(\mathbf A=\mathbf U^H\mathbf U\) součinem regulárních, je
\(\mathbf A^{-1}=(\mathbf U^H\mathbf U)^{-1}=\mathbf U^{-1}(\mathbf U^H)^{-1}=\mathbf U^{-1}(\mathbf U^{-1})^H\),
což je součin regulárních matic a \(\mathbf A^{-1}\) je také pozitivně definitní.Věc lze ukázat i s využitím věty o podobnosti. Je-li \(\mathbf A\) pozitivně definitní, potom \(\mathbf A=\mathbf R^H \mathbf D \mathbf R\) pro unitární \(\mathbf R\) a \(\mathbf A^{-1}=\mathbf R^H \mathbf D^{-1}\mathbf R\), tudíž je také regulární, hermitovská a pozitivně definitní.
K součinu: součin symetrických matic nemusí být symetrický, stačí tedy najít dvě pozitivně definitní matice, jejichž součin není symetrický, např.
\[ \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 5 & 1 \\ 5 & 7 & 2 \\ 0 & 4 & 12 \\ \end{pmatrix} \]
Kdyby součin vyšel symetrický (hermitovský), pak už bude pozitivně definitní. (Plyne ze simultánní diagonalizovatelnosti normálních matic, což přesahuje učivo 1. r. LA.)
