Cauchyova-Schwarzova nerovnost
Úloha číslo: 4473
Pomocí Cauchyovy-Schwarzovy nerovnosti ukažte, že pro libovolná reálná čísla \(a_1,\dots,a_5\) platí:
\(4a_1 + 3a_2 + 6a_3 + 4a_4 + 2a_5 \le 9 \sqrt{a_1^2 + \cdots + a_5^2}\)
Řešení
Zvolíme \(\boldsymbol u=(a_1,\ldots,a_5)^{\mathrm T}\) a \(\boldsymbol v=(4{,}3,6{,}4,2)^{\mathrm T}\), potom vzhledem ke standardnímu skalárnímu součinu na \(\mathbb R^5\) dostáváme \(\langle\boldsymbol u|\boldsymbol v\rangle=4a_1 + 3a_2 + 6a_3 + 4a_4 + 2a_5\), \(||\boldsymbol v||=\sqrt{4^2+3^2+6^2+4^2+2^2}=9\) a \(||\boldsymbol u||=\sqrt{a_1^2 + \cdots + a_5^2}\).
Potom podle Cauchyovy-Schwarzovy nerovnosti platí: \(4a_1 + 3a_2 + 6a_3 + 4a_4 + 2a_5 = \langle\boldsymbol u|\boldsymbol v\rangle \le |\langle\boldsymbol u|\boldsymbol v\rangle|\le ||\boldsymbol v||\cdot||\boldsymbol u||= 9 \sqrt{a_1^2 + \cdots + a_5^2}\).
