Výpočet úpravami
Úloha číslo: 4542
Nápověda
Determinant horní trojúhelníkové matice je roven součinu prvků na diagonále. Tento součin odpovídá identitě. Ostatní permutace zobrazí alespoň jeden index na menší \(i>p(i)\) a tedy odpovídající součin obsahuje alespoň jednu nulu a hodnotu determinantu neovlivní.
Přičtení \(t\)-násobku \(j\)-tého řádku k \(i\)-tému pro \(i\ne j\) nezmění hodnotu determinantu. Pomocí úprav tohoto typu lze převést matici na trojúhelníkovou se stejnou hodnotou determinantu.
Pozor, záměna dvou řádků změní znaménko determinantu. Vynásobení řádku skalárem \(t\) změní hodnotu determinantu na \(t\)-násobek. Těmto úpravám je radno se při výpočtu determinantu vyhýbat.
Protože \(\det \boldsymbol A=\det \boldsymbol A^{\mathsf T}\), je možné kromě řádkových úprav používat i sloupcové úpravy a případně je i během výpočtu střídat.
Varianta
Nad \(\mathbb R\): \(\begin{pmatrix} 7 & -3 \\ 5 & -6 \end{pmatrix} \)Řešení
\( \begin{vmatrix} 7 & -3 \\ 5 & -6 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 7 & -3 \\ 5-\tfrac{5}{7} 7& -6-\tfrac{5}{7}(-3) \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 7 & -3 \\ 0 & -\tfrac{27}{7} \end{vmatrix}= 7\cdot{}\tfrac{-27}{7}= -27 \)Pokud bychom se chtěli vyhnout zlomkům, lze prvky v prvním sloupci redukovat postupně, např. odečtením 5 od 7 získat 2 apod. Také je možné eliminovat \(-3\) pomocí \(-6\) na dolní trojúhelníkovou matici a tu transponovat.
Odpověď
Hodnota determinantu je \(-27\).Varianta
Nad \(\mathbb Z_5\): \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 4 & 1 \\ 2 & 3 & 3 \\ \end{pmatrix} \)Řešení
\( \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 4 & 1 \\ 2 & 3 & 3 \\ \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 4 & 2 \\ \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{vmatrix}= 1 \cdot{}1 \cdot{} 1 =1 \)Nejprve jsme ke druhému řádku přičetli první a ke třetímu trojnásobek prvního. Poté jsme ke třetímu přičetli druhý.
Odpověď
Hodnota determinantu je \(1\).Varianta
Nad \(\mathbb Z_5\): \(\begin{pmatrix} 4 & 4 & 1 \\ 2 & 3 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ \end{pmatrix} \)Řešení
\( \begin{vmatrix} 4 & 4 & 1 \\ 2 & 3 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 4 & 4 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 4 \\ \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 4 & 4 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \\ \end{vmatrix}= 4 \cdot{}1 \cdot{} 4 =1 \)Oproti předchozí variantě se hodnota determinantu nezměnila, protože řádky byly přerovnány podle permutace s kladným znaménkem.
Odpověď
Hodnota determinantu je \(1\).
