Matice isometrie
Úloha číslo: 4434
Pro zobrazení \(f:\mathbb R^3 \to \mathbb R^3\) dané maticí
\[ f_{[K,K]}= \begin{pmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \cos \beta & \sin \alpha \sin \beta \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \cos \beta & \cos \alpha \sin \beta \\ 0 & -\sin \beta & \cos \beta \\ \end{pmatrix} \]rozhodněte, zda jde o isometrii vzhledem ke standardnímu skalárnímu součinu.
Dokážete zobrazení \(f\) popsat geometricky?
Nápověda
Využijte poznatků o zobrazeních s maticí \( \begin{pmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha\\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix} \).Řešení
Zobrazení je isometrie, pokud je její matice vzhledem k ortonormální bázi unitární. Standardní báze \(K\) je ortonormální, a protože jsme v euklidovském prostoru, stačí ověřit, že matice je ortogonální, neboli \([f]_{KK}[f]_{KK}^{\mathrm T}=\mathbf I\). \[\boldsymbol A= \begin{pmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \cos \beta & \sin \alpha \sin \beta \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \cos \beta & \cos \alpha \sin \beta \\ 0 & -\sin \beta & \cos \beta \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \\ \sin \alpha \cos \beta & \cos \alpha \cos \beta & -\sin \beta \\ \sin \alpha \sin \beta & \cos \alpha \sin \beta & \cos \beta \\ \end{pmatrix}, \]kde
\(a_{11}=(\cos\alpha)(\cos\alpha) + (\sin \alpha \cos \beta)(\sin \alpha \cos \beta) +(\sin \alpha \sin \beta)(\sin \alpha \sin \beta)=\cos^2\alpha+\sin^2\alpha(\cos^2\beta+\sin^2\beta)=1 \) \(a_{12}=(\cos\alpha)(-\sin\alpha) + (\sin \alpha \cos \beta)(\cos \alpha \cos \beta) +(\sin \alpha \sin \beta)(\cos \alpha \sin \beta)=-\cos\alpha\sin\alpha+\cos\alpha\sin\alpha(\cos^2\beta+\sin^2\beta)=0 \) \(a_{13}=(\cos\alpha)(0) + (\sin \alpha \cos \beta)(-\sin\beta) +(\sin \alpha \sin \beta)(\cos \beta)=0 \) \(a_{21}=(-\sin \alpha)(\cos\alpha) + (\cos \alpha \cos \beta)(\sin \alpha \cos \beta) +(\cos \alpha \sin \beta)(\sin \alpha \sin \beta)= -\sin\alpha\cos\alpha+\sin\alpha\cos\alpha(\cos^2\beta+\sin^2\beta)=0 \) \(a_{22}=(-\sin \alpha)(-\sin \alpha) + (\cos \alpha \cos \beta)(\cos \alpha \cos \beta) +(\cos \alpha \sin \beta)(\cos \alpha \sin \beta)= \sin^2\alpha+\cos^2\alpha(\cos^2\beta+\sin^2\beta)=1 \) \(a_{23}=(-\sin \alpha)(0) + (\cos \alpha \cos \beta)(-\sin \beta) +(\cos \alpha \sin \beta)(\cos \beta)=0 \) \(a_{31}=(0)(\cos\alpha) + (-\sin \beta)(\sin \alpha \cos \beta) +(\cos \beta)(\sin \alpha \sin \beta)= 0 \) \(a_{32}=(0)(-\sin \alpha) + (-\sin \beta)(\cos \alpha \cos \beta) +(\cos \beta)(\cos \alpha \sin \beta)= 0 \) \(a_{33}=(0)(0) + (-\sin \beta)(-\sin \beta) +(\cos \beta)(\cos\beta)=1 \)Matici lze rozložit na součin
\[\begin{pmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \cos \beta & \sin \alpha \sin \beta \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \cos \beta & \cos \alpha \sin \beta \\ 0 & -\sin \beta & \cos \beta \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha & 0 \\ -\sin \alpha & \cos \alpha & 0\\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \beta & \sin \beta \\ 0 & -\sin \beta & \cos \beta \\ \end{pmatrix} \]Zobrazení odpovídá složení dvou rotací, nejprve kolem 1. osy o úhel \(\beta\) (druhá matice v součinu) a pak kolem 3. osy o úhel \(\alpha\) (první v součinu).
