Sbírka matematických úloh

Vzdálenost bodu od roviny

Úloha číslo: 2702

• Nápověda

  Postupujeme G-S ortonormalizací. Hledaná vzdálenost je de facto rovna normě vektoru \(\mathbf y_3\), kde vektory \(\mathbf x_1\) a \(\mathbf x_2\) odpovídají bodům \(B\) a \(C\) a vektor \(\mathbf x_3\) bodu \(A\).

• Řešení

  Zde se vyplatí malý předvýpočet: vektory \(\mathbf x_1=(8,-1{,}1,-2)^T\), \(\mathbf x_2=(4,-2{,}2,-1)^T\) jsou lineárně nezávislé, a dokonce \( \begin{pmatrix} 8 & -1 & 1 & -2 \\ 4 & -2 & 2 & -1 \\ \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 8 & -4 & 4 & -2 \\ 8 & -1 & 1 & -2 \\ \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 8 & -4 & 4 & -2 \\ 0 & 3 & -3 & 0 \\ \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ \end{pmatrix}\), kde poslední dva vektory \(\mathbf x_1'\), \(\mathbf x_2'\) jsou vzájemně kolmé a generují tu samou rovinu jako \(\mathbf x_1\) a \(\mathbf x_2\).

  Nyní můžeme spočítat projekci vektoru \(\mathbf x_3=(5{,}5,3{,}3)^T\):
  \(p(\mathbf x_3)=\frac{\langle \mathbf x_3|\mathbf x_1' \rangle}{||\mathbf x_1'||^2}\mathbf x_1'+\frac{\langle \mathbf x_3|\mathbf x_2' \rangle}{||\mathbf x_2'||^2}\mathbf x_2' =\frac{17}{17}(4, 0, 0, -1)^T+\frac{2}{2}(0, 1, -1, 0)^T=(4{,}1,-1,-1)^T \)

  (Použili jsme nenormalizovanou bázi, pouze ortogonální, proto se ve jmenovateli u vytknuté normy \(||\mathbf x_i'||\) objevuje kvadrát, protože bychom jí poprvé normovali \(\mathbf x_i'\) a podruhé bychom jí násobili už znormované \(\mathbf x_i'\).)

  Tím dostaneme \(||A-p(A)||=||\mathbf x_3-p(\mathbf x_3)||=||\mathbf y_3||=\sqrt{1+16+16+16}=7\).