Rozptyl výběru
Úloha číslo: 2737
Nechť vektor \(\mathbf x=(x_1,…,x_n)\in \mathbb R^n\) reprezentuje \(n\) pozorování, tedy tzv. výběr. Rozptyl výběru je definován jako \(\displaystyle \sigma^2=\sum_{i=1}^n (x_i-\bar x)^2 \), kde \(\displaystyle \bar x=\frac 1n \sum_{i=1}^n x_i \) je výběrový průměr.
Ukažte, že \(\sigma^2\) je kvadratická forma na \(\mathbb R^n\) a určete matici této formy.
Řešení
Využijeme známý vztah
\( \sigma^2=\sum\limits_{i=1}^n (x_i-\bar x)^2= \sum\limits_{i=1}^n (x_i^2-\bar x^2) \)
tedy
\( \sum\limits_{i=1}^n (x_i^2-\bar x^2)= \sum\limits_{i=1}^n x_i^2- n\bar x^2= \sum\limits_{i=1}^n x_i^2- n\left(\frac 1n \sum\limits_{i=1}^n x_i \right)^2= \sum\limits_{i=1}^n x_i^2- \frac 1n \sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n x_ix_j= \mathbf x^T\mathbf x -\frac1n \mathbf x^T\mathbf J_n\mathbf x= \mathbf x^T\left(\mathbf I_n-\frac 1n \mathbf J_n\right)\mathbf x\),
kde matice \(\mathbf J_n\) je tvořena samými jedničkami.
Pozn.: výše zmíněný vztah lze odvodit např. takto:
\(\sum\limits_{i=1}^n (x_i-\bar x)^2 =\sum\limits_{i=1}^n (x_i^2-2x_i\bar x+ \bar x^2) =\sum\limits_{i=1}^n x_i^2 -2\bar x \sum\limits_{i=1}^n x_i+ n\bar x^2 =\sum\limits_{i=1}^n x_i^2 -n\bar x^2 =\sum\limits_{i=1}^n (x_i^2-\bar x^2)\).
Výsledek
Formu lze vyjádřit součinem \(\sigma^2=\mathbf x^T\left(\mathbf I_n-\frac 1n \mathbf J_n\right)\mathbf x\).
Matice formy je \(\begin{pmatrix} \frac{n-1}{n} & -\frac1n & … &-\frac1n \\ -\frac1n & \frac{n-1}{n} & \ddots & \vdots \\ \vdots &\ddots &\ddots &-\frac1n\\[3pt] -\frac1n & … & -\frac1n & \frac{n-1}{n} \\ \end{pmatrix} \)
