Existence kvadratické formy

Úloha číslo: 4446

Rozhodněte, zda ve vektorovém prostoru $\mathbb R^3$ existuje kvadratická forma $g$ , pro kterou platí:

$g((1, 0, 0)^T) = 1$ , $g((0, 1, 0)^T) = 2$ , $g((0, 0, 1)^T) = 3$ , $g((1, 0, 1)^T) = 4$ , $g((1, 1, 0)^T) = 5$ , $g((0, 1, 1)^T) = 6$ a $g((1, 1, 1)^T) = 7$ .

Nápověda
Pokuste se nejprve sestavit matici symetrické bilineární formy, ze které je $g$ odvozena.

Kolik údajů je k sestavení matice třeba?
Řešení
Využijeme vztahu z definice matice formy: $b_{ij}=\frac12 (g(v_i+v_j)-g(v_i)-g(v_j))$

Podle něj z prvních šesti údajů sestavíme jedinou možnou matici formy $g$ vůči standardní bázi $\boldsymbol B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1/2 \\ 0 & 1/2 & 3 \end{pmatrix}$ .

Ovšem forma odpovídající této matici nesplňuje poslední podmínku, aby $g((1{,}1,1)^T)=7$ , protože ze součinu s maticí vychází 9 namísto 7.
Odpověď
Žádná kvadratická forma, která by vyhovovala uvedeným sedmi podmínkám, neexistuje.

Sbírka matematických úloh

Filtr seznamu úloh?

Škály

Štítky

Existence kvadratické formy

Úloha číslo: 4446

Nápověda

Řešení

Odpověď