Existence kvadratické formy
Úloha číslo: 4446
Rozhodněte, zda ve vektorovém prostoru \(\mathbb R^3\) existuje kvadratická forma \(g\), pro kterou platí:
\(g((1, 0, 0)^T) = 1\), \( g((0, 1, 0)^T) = 2\), \( g((0, 0, 1)^T) = 3\), \(g((1, 0, 1)^T) = 4\), \( g((1, 1, 0)^T) = 5\), \(g((0, 1, 1)^T) = 6\) a \(g((1, 1, 1)^T) = 7\).
Nápověda
Pokuste se nejprve sestavit matici symetrické bilineární formy, ze které je \(g\) odvozena.
Kolik údajů je k sestavení matice třeba?
Řešení
Využijeme vztahu z definice matice formy: \( b_{ij}=\frac12 (g(v_i+v_j)-g(v_i)-g(v_j)) \)
Podle něj z prvních šesti údajů sestavíme jedinou možnou matici formy \(g\) vůči standardní bázi \( \boldsymbol B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1/2 \\ 0 & 1/2 & 3 \end{pmatrix} \).
Ovšem forma odpovídající této matici nesplňuje poslední podmínku, aby \(g((1{,}1,1)^T)=7\), protože ze součinu s maticí vychází 9 namísto 7.
Odpověď
Žádná kvadratická forma, která by vyhovovala uvedeným sedmi podmínkám, neexistuje.
