Sbírka matematických úloh

Inkluze aritmetických prostorů

Úloha číslo: 2528

• Varianta

  \(U_1=\operatorname{span}((4{,}1,0{,}3,4{,}0,0)^{\mathrm T},(4{,}3,1{,}0,2{,}3,1)^{\mathrm T},(4{,}1,4{,}0,3{,}2,4)^{\mathrm T},(2{,}4,1{,}4,4{,}3,1)^{\mathrm T},(0{,}4,3{,}2,2{,}4,3)^{\mathrm T})\)

  \(V_1=\{(x_1,…,x_7)^{\mathrm T}\in\mathbb Z_5^7: x_1+3x_2+ x_3+2x_4+3x_5+ x_6+2x_7=0,\\\strut\qquad 3x_1+4x_2+3x_3+ x_4+4x_5+2x_6+4x_7=0,\ 2x_1+ x_2+4x_3 +4x_5 +2x_7=0\}\)

• Řešení - inkluze

  Dimenze podprostoru je menší než dimenze prostoru. Dimenze jsme již určili dříve v předchozí úloze, můžeme tedy okamžitě vyloučit případ \(V_1 \subset U_1\). Zbývá ověřit, zdali jsou prostory v opačné inkluzi, nebo jsou-li inkluzí neporovnatelné. Stačí ověřit, jestli \(\dim(\operatorname{span}(U_1\cup V_1))=\dim(V_1)=4\).

  To je možné provést například tak, že pod matici s vektory báze prostoru \(V_1\) (jako řádky) připíšeme vektory báze \(U_1\) a určíme hodnost. Pokud „horní“ část matice odpovídající \(V_1\) je v odstupňovaném tvaru, lze s ní rovnou provést pokus o eliminaci „dolní“ části odpovídající \(U_1\):
  \( \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 4 & 0 & 0 & 3 & 1 \end{pmatrix} \sim\sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 3 & 4 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 4 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 3 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 4 & 3 \end{pmatrix} \)
  a potom
  \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 3 & 4 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 4 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 3 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 4 & 3 \\ \hline 1 & 2 & 3 & 2 & 2 & 4 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 3 & 1 & 3 & 1 \\ \end{pmatrix} \sim\sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 3 & 4 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 4 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 3 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 4 & 3 \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \)

  Popřípadě se také můžeme pokusit vyjádřit vektory báze „menšího“ prostoru jako lineární kombinace vektorů báze „většího“ prostoru (což je vlastně totéž).

  \[ \begin{array}{cccc|cccccc} & & & & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ & & & & 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ & & & & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ & & & & 1 & 0 & 4 & 0 & 0 & 3 & 1 \\ \hline 2 & 2 & 3 & 1 & 2 & 3 & 4 & 2 & 2 & 4 & 3 \\ 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 3 & 1 & 3 & 1 \\ \end{array} \]

  Zde řádky první matice udávají souřadnice vektorů báze \(U_1\) vůči bázi \(V_1\) (obě tyto báze jsme si zvolili výše). Souřadnice odpovídají 2., 4., 5. a 7. složce vektoru, protože ty odpovídají volným proměnným a pro každou volnou proměnnou má jen jeden vektor této báze prostoru \(V_1\) odpovídající složku rovnou 1 a ostatní mají tuto složku nulovou. (Stručněji, sloupce odpovídající volným proměnným tvoří jednotkovou matici a proto jednoznačně určují koeficienty lineární kombinace, dá-li se pomocí ní daný vektor vyjádřit.)

  Tato inkluze se dá ověřit ještě jedním jednoduchým způsobem, protože všechny vektory báze \(U_1\) splňují rovnice z definice podprostoru \(V_1\). (Pro \(U_2\) a \(V_2\) tento jednodušší postup přímočaře nefunguje, protože mohou být jen v opačné inkluzi.)

• Řešení - rozšíření

  Pro rozšíření báze vyjdeme z libovolné báze menšího prostoru a přidáváme vektory z většího, dokud nedostaneme požadovanou dimenzi. Pokud nechceme zkoušet každý vektor zvlášť, převedeme obě matice do odstupňovaného tvaru, a vybereme z „větší“ matice odpovídající prostoru \(V_1\) ty řádky, jejichž pivoty odpovídají sloupcům, které v druhé „menší“ matici pivoty neobsahují. Z již provedených výpočtů: \( \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 4 & 0 & 0 & 3 & 1 \end{pmatrix} \sim\sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 3 & 4 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 4 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 3 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 4 & 3 \end{pmatrix} \)
  a
  \( \begin{pmatrix} 4 & 1 & 0 & 3 & 4 & 0 & 0 \\ 4 & 3 & 1 & 0 & 2 & 3 & 1 \\ 4 & 1 & 4 & 0 & 3 & 2 & 4 \\ 2 & 4 & 1 & 4 & 4 & 3 & 1 \\ 0 & 4 & 3 & 2 & 2 & 4 & 3 \\ \end{pmatrix}\sim\sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 2 & 2 & 4 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 3 & 1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \)
  vyplývá, že bázi lze rozšířit např. o vektor \((0{,}0,0{,}1,1{,}4,3)^{\mathrm T}\).

• Odpověď

  Prostor \(U_1\) je podprostorem prostoru \(V_1\) neboli \(U_1 \subset V_1\).

  Libovolnou bázi prostoru \(U_1\) lze rozšířit na bázi prostoru \(V_1\) např. přidáním vektoru \((0{,}0,0{,}1,1{,}4,3)^{\mathrm T}\).

• Varianta

  \(U_2=\operatorname{span}((1{,}2,4{,}2,3{,}1,2)^{\mathrm T},(2{,}3,4{,}1,2{,}1,3)^{\mathrm T},(3{,}4,1{,}1,4{,}1,4)^{\mathrm T}, (4{,}0,2{,}3,3{,}4,1)^{\mathrm T},(4{,}3,1{,}3,2{,}3,2)^{\mathrm T})\)

  \(V_2=\{(x_1,…,x_7)^{\mathrm T}\in\mathbb Z_5^7: x_1+2x_2+ x_3 + x_5+2x_6+3x_7=0,\\\strut\qquad 4x_1+2x_2+ x_3+3x_4+2x_5 + x_7=0,\ x_1+ x_2+3x_3 + x_6 =0\}\)

• Odpověď

  Prostor \(V_2\) je podprostorem prostoru \(U_2\) neboli \(V_2 \subset U_2\).

  Libovolnou bázi prostoru \(V_2\) lze rozšířit na bázi prostoru \(U_2\) např. přidáním vektoru \((0{,}0,0{,}0,0{,}1,1)^{\mathrm T}\).

• Varianta

  \(U_3=\operatorname{span}( (1{,}3,4{,}3,2{,}4,3)^{\mathrm T}, (2{,}1,3{,}1,4{,}3,1)^{\mathrm T}, (4{,}2,1{,}2,3{,}1,2)^{\mathrm T}, (1{,}0,3{,}1,4{,}1,4)^{\mathrm T}, (3{,}4,2{,}4,1{,}2,4)^{\mathrm T}) \)

  \(V_3=\{(x_1,…,x_7)^{\mathrm T}\in\mathbb Z_5^7: x_1+ + x_4+2x_5+ x_6+ x_7=0,\\\strut\qquad x_1+3x_2+4x_3+2x_4+3x_5 +4x_7=0,\ 3x_1+3x_2+4x_3+4x_4+2x_5+2x_6+ x_7=0\}\)

• Řešení

  Prostor \(V_3\) má dimenzi 5, a tak nemůže být podprostorem \(U_3\) dimenze 2.

  Ani opačná inluze neplatí, protože např. 4. z generátorů prostoru \(U_3\) nesplňuje druhou a třetí rovnici prostoru \(V_3\). (Zbývající dosazení generátorů do rovnice však platí.)

• Odpověď

  Prostory \(U_3\) a \(V_3\) nejsou v inkluzi a tak ani bázi jednoho nelze doplnit na bázi druhého.