Matice s funkcemi

Spočítejte determinanty matic

Varianta 1
\( \begin{pmatrix} \sin x & \cos x & 1 \\ \sin y & \cos y & 1 \\ \sin z & \cos z & 1 \\ \end{pmatrix} \)
Řešení
Použijeme rozvoj podle posledního sloupce a vzorec \(\sin(x-y)=\sin x \cos y- \cos x \sin y\).
Výsledek
Determinant matice je roven \(\sin(x-y)+\sin(y-z)+\sin(z-x)\).
Varianta 2
\( \begin{pmatrix} \cos x & \sin x \cos y & \sin x \sin y \\ -\sin x & \cos x \cos y & \cos x \sin y \\ 0 & -\sin y & \cos y \\ \end{pmatrix} \)
Řešení
Podle Sarrusova pravidla \(\cos^2 x \cos^2 y + \sin^2 x \sin^2 y + \sin^2 x \cos^2 y + \cos^2 x \sin^2 y = 1\).
Výsledek
Determinant matice je roven 1.
Varianta 3
\( \begin{pmatrix} 1 & \log_b a & \log_c a \\ \log_a b & 1 & \log_c b \\ \log_a c & \log_b c & 1 \\ \end{pmatrix} \)
Řešení
Použijeme vzorec \(\log_a b=\ln b/ \ln a\), dále Sarrusovým pravidlem nebo převodem na jedničkovou matici.
Výsledek
Determinant matice je roven 0.