Metoda nejmenších čtverců
Úloha číslo: 2703
Pomocí projekce najděte nejlepší přibližné řešení soustavy \(\mathbf A\mathbf x=\mathbf b\), kde
\( \mathbf A= \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 4 & 2 & 0 \\ 2 & -4 & -1 \\ 1 & -2 & 2 \\ \end{pmatrix}, \qquad \mathbf b=(10, 5, 13, 9)^T\)
Všimněte si, že sloupce matice \(\mathbf A\) jsou vzájemně kolmé.
Řešení
Protože sloupce \(\mathbf a_1,…,\mathbf a_3\) jsou vzájemně kolmé, je projekce přímo dána předpisem
\(\mathbf b_{{\mathcal R}(A)}=\sum\limits_{i=1}^3 \frac{\langle \mathbf b|\mathbf a_i \rangle}{||\mathbf a_i||^2}\mathbf a_i\), tedy \(\mathbf b_{{\mathcal R}(A)}=(4, 8, 13, 9)^T\) s koeficienty \(\mathbf x'=(3, -2, 1)^T\).
