Definitnost formy s parametrem
Úloha číslo: 4450
Mějme dánu reálnou kvadratickou formu
\(g((x_1, x_2, x_3)^T) = x_1^2 + 2x_1x_2 + 2x_1x_3 + 2x_2^2 + ax_2x_3 + 5x_3^2\).
Pro které hodnoty parametru \(a\in \mathbb R\) je tato forma pozitivně definitní (t.j. \(\forall \boldsymbol u\in\mathbb R^3\setminus\boldsymbol 0: g(\boldsymbol u)>0\)) a pro které
hodnoty je negativně definitní
(t.j. \(\forall \boldsymbol u\in\mathbb R^3\setminus\boldsymbol 0: g(\boldsymbol u)<0\))?
Řešení
Sestavíme matici formy a upravíme ji Gaussovou eliminací:
\( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & \frac{a}2 \\ 1 & \frac{a}2 & 5 \end{pmatrix} \sim\sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{a}2-1 \\ 0 & \frac{a}2-1 & 4 \end{pmatrix} \sim\sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{a^2}4+a+3 \end{pmatrix} \)Forma je pozitivně definitní, pokud má signaturu \((3{,}0,0)\), čili když \(-\frac{a^2}4+a+3\gt 0\).
Negativně definitní být nemůže, protože první složka signatury je alespoň 2, a bylo by třeba získat signaturu \((0{,}3,0)\).
Odpověď
Forma je pozitivně definitní pro \(a\in(-2{,}6)\). Negativně definitní není pro žádnou volbu parametru \(a\).
