Filtr seznamu úloh?
Zvolte požadované hodnoty úrovní a požadované štítky. V obsahu budou zobrazeny pouze úlohy mající jednu ze zvolených úrovní každé škály a alespoň jeden štítek. Pokud chcete filtrovat pouze podle některých škál nebo jen podle štítků, nechte ostatní skupiny prázdné.
Škály
Obtížnost
Štítky
Typ úlohy
«
«
Definitnost formy s parametrem
Úloha číslo: 4450
Mějme dánu reálnou kvadratickou formu
g((x1,x2,x3)T)=x21+2x1x2+2x1x3+2x22+ax2x3+5x23.
Pro které hodnoty parametru a∈R je tato forma pozitivně definitní (t.j. \forall \boldsymbol u\in\mathbb R^3\setminus\boldsymbol 0: g(\boldsymbol u)>0) a pro které
hodnoty je negativně definitní
(t.j. \forall \boldsymbol u\in\mathbb R^3\setminus\boldsymbol 0: g(\boldsymbol u)<0)?
Řešení
Sestavíme matici formy a upravíme ji Gaussovou eliminací:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & \frac{a}2 \\ 1 & \frac{a}2 & 5 \end{pmatrix} \sim\sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{a}2-1 \\ 0 & \frac{a}2-1 & 4 \end{pmatrix} \sim\sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{a^2}4+a+3 \end{pmatrix}Forma je pozitivně definitní, pokud má signaturu (3{,}0,0), čili když -\frac{a^2}4+a+3\gt 0.
Negativně definitní být nemůže, protože první složka signatury je alespoň 2, a bylo by třeba získat signaturu (0{,}3,0).
Odpověď
Forma je pozitivně definitní pro a\in(-2{,}6). Negativně definitní není pro žádnou volbu parametru a.