Sbírka matematických úloh

Dopředná a zpětná substituce

Úloha číslo: 4564

• Varianta

  \[ \begin{alignat*}{9}%{rcrcrcrcr} 2 x_1 & & & & & & &{}={}& 6 \\ 2 x_1 &{}+{}& 3x_2 & & & & &{}={}& 6 \\ 1 x_1 &{}+{}& 2x_2 &{}+{}& 3x_3 & & &{}={}& 0 \\ 2 x_1 &{}+{}& 2x_2 &{}+{}& 2x_3 &{}+{}& x_4 &{}={}& 6 \end{alignat*} \]

• Řešení

  Z první rovnice určíme \(x_1\), poté \(x_1\) dosadíme do druhé a určíme \(x_2\) atd.:

  \(2x_1=6 \Rightarrow x_1=\frac{6}{2}=3\)
  \(2{\cdot} 3 + 3x_2=6 \Rightarrow 3x_2=0 \Rightarrow x_2=0\)
  \(1{\cdot} 3 + 2{\cdot} 0 + 3x_3=0 \Rightarrow 3x_3=-3 \Rightarrow x_3=-1\)
  \(2{\cdot} 3 + 2{\cdot} 0 + 2\cdot (-1) + x_4=6 \Rightarrow x_4=2\)

• Odpověď

  Výsledné řešení je: \(\boldsymbol x=(x_1,x_2,x_3,x_4)^\mathrm{T}=(3{,}0,-1{,}2)^\mathrm{T}\).

• Varianta

  \[ \begin{alignat*}{9}%{rcrcrcrcr} {}- x_1 &{}+{}& 2x_2 &{}+{}& 1x_3 &{}+{}& x_4 &{}={}& 4 \\ & & x_2 &{}-{}& 2x_3 &{}+{}& 3x_4 &{}={}& 11 \\ & & & & 2x_3 &{}-{}& 3x_4 &{}={}&-10 \\ & & & & & & 6x_4 &{}={}& 12 \end{alignat*} \]

• Nápověda

  Podobně, jen postupujeme od poslední neznámé \(x_4\) k první \(x_1\).

• Odpověď

  Výsledné řešení je: \(\boldsymbol x=(-2{,}1,-2{,}2)^\mathrm{T}\).

• Varianta

  \[ \begin{alignat*}{9}%{rcrcrcrcr} {}- x_1 &{}+{}& 2x_2 &{}+{}& 1x_3 &{}+{}& x_4 &{}={}& 4\phantom{p} \\ & & x_2 &{}-{}& 2x_3 &{}+{}& 3x_4 &{}={}& 11\phantom{p} \\ & & & & 2x_3 &{}-{}& 3x_4 &{}={}&-10\phantom{p} \\ & & & & & & 6x_4 &{}={}& 12p \end{alignat*} \] v závislosti na parametru \(p\).

• Nápověda

  Podobně od \(x_4\) k \(x_1\), jen výpočty provádíme vzhledem k parametru \(p\).

• Odpověď

  Výsledné řešení je: \(\boldsymbol x=(5p - 7, 1, 3p - 5, 2p)^\mathrm{T}\).