Inverze a mocniny matice
Úloha číslo: 2409
Nechť \(\mathbf A^2\) má inverzi \(\mathbf B\). Dokažte, že i matice \(\mathbf A\) je invertovatelná a nalezněte její inverzi.
Nápověda
Protože matice \(\mathbf A^2\) je invertovatelná, dostáváme vztah \(\mathbf A^2\mathbf B = \mathbf A\mathbf A\mathbf B = \mathbf I_n\). Co to říká o invertovatelnosti \(\mathbf A\)?
Řešení
Z rovnosti \(\mathbf A^2\mathbf B = \mathbf A\mathbf A\mathbf B = \mathbf I_n\) dostáváme, že matice \(\mathbf A\) má inverzi \(\mathbf A\mathbf B\).
Pro čtvercovou matici platí, že pokud má inverzi z jedné strany, je to i inverze z druhé strany a je určena jednoznačně.
Jiný pohled: Pokud matice \(\mathbf C\) má inverzi a \(\mathbf C = \mathbf A\mathbf B\), potom i obě \(\mathbf A\) a \(\mathbf B\) jsou invertovatelné.
