Pravidla pro počítání s maticemi.
Úloha číslo: 2395
Rozhodněte, zda pro čtvercové matice \(\boldsymbol A,\boldsymbol B,\boldsymbol C\) a \(\boldsymbol 0\) stejného řádu a reálná čísla \(r ,s \) platí:
| a) \(\boldsymbol A+(\boldsymbol B+\boldsymbol C)=(\boldsymbol A+\boldsymbol B)+\boldsymbol C\) | h) \(r (\boldsymbol A+\boldsymbol B)=r \boldsymbol A+r \boldsymbol B\) |
| b) \(\boldsymbol A+\boldsymbol B=\boldsymbol B+\boldsymbol A\) | i) \((r +s )\boldsymbol A=r \boldsymbol A+s \boldsymbol A\) |
| c) \(\boldsymbol A+\boldsymbol 0=\boldsymbol A\) | j) \(r \boldsymbol A+s \boldsymbol B=(r +s )(\boldsymbol A+\boldsymbol B)\) |
| d) \(r (s \boldsymbol A)=(r s )\boldsymbol A\) | k) \((\boldsymbol A^{\mathrm T})^{\mathrm T}=\boldsymbol A\) |
| e) \(r (s \boldsymbol A)=s (r \boldsymbol A)\) | l) \((\boldsymbol A+\boldsymbol B)^{\mathrm T}=\boldsymbol A^{\mathrm T}+\boldsymbol B^{\mathrm T}\) |
| f) \(\boldsymbol A+(-1)\boldsymbol A=\boldsymbol 0\) | m) \((r \boldsymbol A)^{\mathrm T}=r (\boldsymbol A^{\mathrm T})\) |
| g) \(1\boldsymbol A=\boldsymbol A\) | n) \((r\boldsymbol A)\boldsymbol B=\boldsymbol A(r\boldsymbol B)\) |
Pravidlo dokažte porovnánám matic po složkách; vyvraťte ho konstrukcí protipříkladu.
Která z pravidel platí i pro obdélníkové matice stejného typu?
Řešení
Řešíme porovnáním matic na levé a pravé straně rovnosti po složkách:
a) \((\boldsymbol A+(\boldsymbol B+\boldsymbol C))_{ij}=a_{ij}+(\boldsymbol B+\boldsymbol C)_{ij}=a_{ij}+(b_{ij}+c_{ij})=(a_{ij}+b_{ij})+c_{ij}=(\boldsymbol A+\boldsymbol B)_{ij}+c_{ij}=((\boldsymbol A+\boldsymbol B)+\boldsymbol C)_{ij}\)
První, druhá, čtvrtá a pátá rovnost jsou jen rozepsáním definice součtu matic. Třetí rovnost vyjadřuje asociativitu součtu reálných čísel.
b-m) rozepíšeme obdobně, pouze j) neplatí, správně má být:
\(r\boldsymbol A+r\boldsymbol B+s \boldsymbol A+s \boldsymbol B=(r +s )(\boldsymbol A+\boldsymbol B)\).Protipříklad jsou libovolná \(r ,s ,\boldsymbol A\) a \(\boldsymbol B\), kde \(r \boldsymbol B+s \boldsymbol A\ne \boldsymbol 0\), tedy například \(r=s=1\), \(\boldsymbol A=\boldsymbol B=\mathbf I\).
n) Třeba rozepsat maticový součin \( ((r\boldsymbol A)\boldsymbol B)_{ij}= \sum\limits_{k=1}^n(r\boldsymbol A)_{ik}b_{kj}= \sum\limits_{k=1}^n (ra_{ik})b_{kj}= \sum\limits_{k=1}^n a_{ik}(rb_{kj})= \sum\limits_{k=1}^n a_{ik}(r\boldsymbol B)_{kj} = (\boldsymbol A(r\boldsymbol B))_{ij} \)
Kromě j) a n) platí pravidla i pro obdélníkové matice stejného typu. U n) mohou být typy různé, ale je třeba, aby typy matic dovolovaly provést součin, konkrétně aby \(\boldsymbol A\) byla typu \(m\times n\) a \(\boldsymbol B\) byla typu \(n\times p\).
